問題
を満たす関数について考える．
(1) を負でない実数とするとき，不等式
が成り立つことを示せ．
(2) の形の（＊）の解を求めよ．
(3) の形の（＊）の解は存在するか．存在するならその解を求め，存在しないならそのことを示せ．
出典：東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第6問
方針
（＊）の右端の積分は定数なので、解は必ず の形になる。(1)は と見て、 と に分ける。後者では負になる区間だけを反転して積分を計算し、不等式に直す。(2)(3)は を解くが、 の場合は(1)の不等式から矛盾を出す。
解答
(1)
である。
まず のとき、この式は で常に0以上である。したがって である。右辺は である。 なので となり、求める不等式が成り立つ。
次に とする。 とおくと、 であり である。この式は で負になる。よって
である。第1項は であり、後ろの積分は とおくと である。したがって である。
ここで だから、示すべき不等式との差は
である。 に対し と書けるので、これは0以上である。よって の場合も不等式は成り立つ。
(2)
（＊）で とおくと、定数項を比べて でなければならない。 のときは、(1)の計算より である。したがって である。これを解くと より したがって である。これは確かに を満たす。よって である。
(3)
の形の解があると仮定する。このとき(1)より である。したがって（＊）の定数項の条件から
となる。これを整理すると すなわち であり、 を得る。これは に反する。したがって の形の解は存在しない。