問題
関数は微分可能で，すべての，に対して次の等式
を満たしているとする．
(1) のときを求めよ．
(2) (1)で求めたのうち，次の積分
の値を最小にするを求めよ．
出典：東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第4問
方針
(1)は与式を一方の変数で微分し、導関数がどの点でも同じ値を取ることを示す。微分可能性があるため、 midpoint 型の条件から一次関数に落とせる。(2)では として、積分を の2次式と見て最小化する。平方完成または微分により、 と の積分を計算して係数を決める。
解答
(1)
与えられた等式は である。両辺を で微分すると となる。ここで と は任意である。任意の実数 に対し、 となるように を選べるので、上式は が任意の で成り立つことを意味する。したがって は定数である。
よって、ある定数 を用いて と書ける。条件 より だから である。逆に、この形の関数は与式を満たす。
(2)
(1)より とおけばよい。最小にすべき積分を とおく。これは の2次式であり、最小値をとるところでは である。したがって を得る。
まず
である。また部分積分により
である。よって となり、 である。したがって求める関数は である。