東北大学 1990年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

行列 $A = (1 a - a b)$ （ $a$ ， $b$ は実数で， $a > 0$ ）により表される1次変換 $(x^{'} y^{'}) = A (x y)$ について考える．

(1) $A^{2} + A + E = O$ を満たすように $A$ を定めよ．ここで $E$ は単位行列， $O$ は零行列を表すものとする．

(2) 原点を $O (0, 0)$ ，直線 $x = 2$ 上の点を $P (2, p)$ とし，(1)で定められた行列 $A$ による1次変換で，点 $P$ が点 $Q$ に移るものとする．
$∣ O Q ∣ ≧ ∣ O P ∣$ となるような $p$ の範囲を求めよ．

(3) (2)の大きさの比 $\frac{∣ O Q ∣}{∣ O P ∣}$ の最大値を求めよ．

出典：東北大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

(1)は $A^{2} + A + E = O$ を成分比較して $a, b$ を決める。(2)は点 $P = (2, p)$ の移る先 $Q$ を直接計算し、長さの2乗の差を2次不等式にする。(3)は比の2乗を $p$ の関数として最大化する。分母が正なので、微分で臨界点を求め、無限遠での値も比較して最大を決める。

解答

(1)

A = (1 a - a b)

とする。まず

A^{2} = (1 - a^{2} a (1 + b) - a (1 + b) - a^{2} + b^{2})

である。したがって $A^{2} + A + E = O$ は

(3 - a^{2} a (2 + b) - a (2 + b) - a^{2} + b^{2} + b + 1) = O

と同値である。 $a > 0$ だから、左上成分から $a^{2} = 3$ より $a = 3$ である。また右上または左下成分から $2 + b = 0$ なので $b = - 2$ である。このとき右下成分も $- 3 + 4 - 2 + 1 = 0$ となり確かに成り立つ。よって

A = (13 - 3 - 2)

である。

(2)

$P = (2, p)$ が移る先を $Q$ とすると $Q = (2 - 3 p, 23 - 2 p)$ である。したがって $∣ O Q ∣^{2} = (2 - 3 p)^{2} + (23 - 2 p)^{2}$ であり、展開して $∣ O Q ∣^{2} = 7 p^{2} - 123 p + 16$ となる。一方 $∣ O P ∣^{2} = p^{2} + 4$ である。よって条件 $∣ O Q ∣ ≧ ∣ O P ∣$ は $7 p^{2} - 123 p + 16 ≧ p^{2} + 4$ すなわち $6 (p^{2} - 23 p + 2) ≧ 0$ である。平方完成すると $(p - 3)^{2} ≧ 1$ だから $p ≦ 3 - 1, p ≧ 3 + 1$ である。

(3)

比の2乗を

R (p) = \frac{∣ O Q ∣ ^{2}}{∣ O P ∣ ^{2}} = \frac{7 p ^{2} - 12 3 p + 16}{p ^{2} + 4}

とおく。分母は常に正である。微分すると $R^{'} (p) = \frac{( 14 p - 12 3 ) ( p ^{2} + 4 ) - 2 p ( 7 p ^{2} - 12 3 p + 16 )}{( p ^{2} + 4 ) ^{2}}$ であり、分子を整理して $R^{'} (p) = \frac{12 ( 3 p ^{2} + 2 p - 4 3 )}{( p ^{2} + 4 ) ^{2}}$ となる。したがって臨界点は $3 p^{2} + 2 p - 43 = 0$ の解、すなわち $p = \frac{- 3 + 39}{3}, p = - \frac{3 + 39}{3}$ である。

それぞれでの $R$ の値は $\frac{11 - 3 13}{2}, \frac{11 + 3 13}{2}$ である。また $p$ が正または負に限りなく大きくなると $R (p)$ は $7$ に近づく。よって最大値は $\frac{11 + 3 13}{2}$ である。求める比そのものの最大値は $\frac{11 + 3 13}{2}$ である。

東北大学 1990年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 1990年度
後期・理系数学後期第1問