東北大学 1990年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$n = 0, 1, 2, \dots\dots$ に対し

H_{n} = {(a, b, c) ∣ a, b, c は負でない整数で a + b + c = n}

とおき， $H_{n}$ の要素の個数を $h_{n}$ とおく．和 $n = 0 \sum \infty \frac{1}{h _{n}}$ を求めよ．

出典：東北大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

$H_{n}$ の要素数は、3つの負でない整数の和が $n$ になる組の数である。区切りを2本入れる数え方で $h_{n} =_{n + 2} C_{2}$ を求める。あとは逆数を部分分数分解し、有限和を取ってから極限を考えると望みの無限和が出る。

解答

$a, b, c$ は負でない整数で $a + b + c = n$ を満たす。これは、 $n$ 個の同じものを3つの箱に分ける方法の数であり、区切り2本を含めた $n + 2$ 個の位置から区切りの位置を選べばよい。したがって $h_{n} =_{n + 2} C_{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ である。

よって $\frac{1}{h _{n}} = \frac{2}{( n + 1 ) ( n + 2 )}$ であり、部分分数分解すると $\frac{2}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = 2 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$ である。したがって、 $N$ までの部分和は

n = 0 \sum N \frac{1}{h _{n}} = 2 n = 0 \sum N (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})

である。右辺は途中の項が打ち消し合って $2 (1 - \frac{1}{N + 2})$ となる。よって $N \to \infty$ として $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{h _{n}} = 2$ である。

別解。 $h_{n}$ は三角数であり、具体的には $h_{0} = 1, h_{1} = 3, h_{2} = 6, h_{3} = 10, \dots$ である。逆数をそのまま足すのではなく、各項を $\frac{1}{h _{n}} = 2 (\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})$ と見れば、和が望遠的に消えることが見える。この形に直すのが本問の計算上の中心である。

東北大学 1990年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

東北大学 1990年度
後期・理系数学後期第2問