問題
空間の中の2点，を結ぶ直線をとし，平面における円をとする．点が上を動き，点が上を動くとき，線分が動いてできる立体をとする．
平面 による立体の切り口の面積と，の体積を求めよ．
出典：東北大学 1990年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期 第3問
方針
高さ で切り、線分 上の点を と の内分点として表す。 は上の水平線分、 は下の円板を動くので、切り口は半径 の円板を長さ の水平線分に沿って動かした図形になる。これは長方形と2つの半円からなる図形として面積を出し、最後に で積分する。
解答
直線 上の点 は と表せる。また 上の点 は と表せる。
線分 上で高さが である点は、 に対して と書ける。したがってその 座標は である。
ここで は半径 の円板を動き、 は を満たす水平線分を動く。したがって切り口 は、半径 の円板を長さ の水平線分に沿って動かして得られる図形である。
これは、縦の幅 、横の長さ の長方形に、半径 の半円2つを付けた形である。よって面積は すなわち である。
体積 は切り口の面積を高さ方向に積分して である。計算すると であり、 である。したがって である。