東北大学 1990年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし， $x y$ 平面上に $(n + 1)$ 個の点 $P_{0} = (0, 0)$ ， $P_{1} = (1, 0)$ ， $P_{2}$ ， $\dots\dots$ ， $P_{n}$ をとる．点 $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $\dots\dots$ ， $P_{n}$ を

(i) 線分 $P_{j - 1} P_{j}$ $(1 ≦ j ≦ n)$ の長さは1．

(ii) 線分 $P_{j - 2} P_{j - 1}$ と線分 $P_{j - 1} P_{j}$ とは互いに直交する． $(2 ≦ j ≦ n)$

という条件のもとで動かし，このとき得られる線分 $P_{0} P_{n}$ の長さの最大値を $L_{n}$ で表す．

(1) $L_{n}$ を求めよ．

(2) 極限値 $m \to \infty lim (L_{2 m + 1} - L_{2 m})$ を求めよ．

出典：東北大学 1990年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

各線分は長さ1で、前の線分と直交する。最初の線分が水平なので、奇数番目の線分は水平、偶数番目の線分は鉛直になる。終点までの水平成分は水平線分の本数を超えられず、鉛直成分も鉛直線分の本数を超えられない。最大にするには同じ方向の線分をすべて同じ向きにそろえればよい。最後に偶数本と奇数本で式を分け、差の極限を有理化で求める。

解答

(1)

線分 $P_{0} P_{1}$ は $x$ 軸方向で長さ1である。条件(ii)より、次の線分はこれに直交するので鉛直方向、その次は水平方向、というように方向が交互に変わる。したがって、奇数番目の線分は水平、偶数番目の線分は鉛直である。

まず $n = 2 m$ のとき、水平線分は $m$ 本、鉛直線分も $m$ 本ある。終点 $P_{2 m}$ の水平成分の絶対値は最大でも $m$ 、鉛直成分の絶対値も最大でも $m$ である。よって $∣ P_{0} P_{2 m} ∣ ≦ m^{2} + m^{2} = m 2$ である。この上限は、水平線分をすべて同じ向き、鉛直線分もすべて同じ向きに取れば実現できる。したがって $L_{2 m} = m 2$ である。

次に $n = 2 m + 1$ のとき、水平線分は $m + 1$ 本、鉛直線分は $m$ 本ある。同様に $∣ P_{0} P_{2 m + 1} ∣ ≦ (m + 1)^{2} + m^{2}$ であり、この上限も同じ方向の成分をそろえれば実現できる。よって $L_{2 m + 1} = (m + 1)^{2} + m^{2}$ である。

(2)

(1)より $L_{2 m + 1} - L_{2 m} = (m + 1)^{2} + m^{2} - m 2$ である。右辺を有理化すると

\frac{( m + 1 ) ^{2} + m ^{2} - 2 m ^{2}}{( m + 1 ) ^{2} + m ^{2} + m 2} = \frac{2 m + 1}{2 m ^{2} + 2 m + 1 + m 2}

である。分母分子を $m$ で割ると $\frac{2 + \frac{1}{m}}{2 + \frac{2}{m} + \frac{1}{m ^{2}} + 2}$ となる。したがって $lim_{m \to \infty} (L_{2 m + 1} - L_{2 m}) = \frac{2}{2 2} = \frac{1}{2}$ である。

東北大学 1990年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1990年度
後期・理系数学後期第5問