東北大学 1989年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

数列 ${x_{n}}$ が $x_{1} = 19$ ， $x_{n + 1} = \frac{5 x _{n} + 8}{x _{n} + 3}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ で定義されている．

(1) $y_{n} = \frac{x _{n} + a}{x _{n} + b}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ が等比数列となるような定数 $a$ ， $b$ $(a < b)$ を求めよ．

(2) 一般項 $x_{n}$ を求めよ．

(3) 極限値 $n \to \infty lim x_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

漸化式は一次分数変換なので、動かない値を2つ求め、それらとの差の比をとると等比数列になる。 $4$ と $- 2$ が基準値になるため、 $y_{n} = (x_{n} - 4) / (x_{n} + 2)$ と置いて公比を計算する。一般項は $y_{n}$ から $x_{n}$ を解き戻し、極限はその式から読む。

解答

【(1)】漸化式 $x_{n + 1} = \frac{5 x _{n} + 8}{x _{n} + 3}$ において、値が変わらない数 $r$ を考えると $r = \frac{5 r + 8}{r + 3}$ である。整理すると $r (r + 3) = 5 r + 8$ すなわち $r^{2} - 2 r - 8 = 0$ である。よって $r = 4, - 2$ である。

そこで $y_{n} = \frac{x _{n} - 4}{x _{n} + 2}$ とおく。これは問題の形 $y_{n} = (x_{n} + a) / (x_{n} + b)$ において $a = - 4, b = 2$ としたものであり、確かに $a < b$ である。実際、

y_{n + 1} = \frac{x _{n + 1} - 4}{x _{n + 1} + 2} = \frac{\frac{5 x _{n} + 8}{x _{n} + 3} - 4}{\frac{5 x _{n} + 8}{x _{n} + 3} + 2} = \frac{x _{n} - 4}{7 x _{n} + 14} = \frac{1}{7} \cdot \frac{x _{n} - 4}{x _{n} + 2} = \frac{1}{7} y_{n} .

したがって求める定数は $a = - 4, b = 2$ である。

【(2)】 $x_{1} = 19$ より $y_{1} = \frac{19 - 4}{19 + 2} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}$ である。また(1)より $y_{n + 1} = \frac{1}{7} y_{n}$ だから $y_{n} = \frac{5}{7} (\frac{1}{7})^{n - 1} = \frac{5}{7 ^{n}}$ である。したがって $\frac{x _{n} - 4}{x _{n} + 2} = \frac{5}{7 ^{n}}$ となる。これを $x_{n}$ について解くと $7^{n} (x_{n} - 4) = 5 (x_{n} + 2)$ より $(7^{n} - 5) x_{n} = 4 \cdot 7^{n} + 10.$ よって $x_{n} = \frac{4 \cdot 7 ^{n} + 10}{7 ^{n} - 5}$ である。

【(3)】(2)の式を用いると $x_{n} = \frac{4 \cdot 7 ^{n} + 10}{7 ^{n} - 5} = \frac{4 + 10/ 7 ^{n}}{1 - 5/ 7 ^{n}}$ である。 $n \to \infty$ のとき $7^{n} \to \infty$ だから $lim_{n \to \infty} x_{n} = 4$ である。

東北大学 1989年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

東北大学 1989年度
理系数学前期第6問