東北大学 1989年度
理系数学 前期 第3問

解答

【(1)】時刻 $t$ 秒後の水面の高さを $h(t)$ とする。はじめ容器は空で底は高さ $0$ にあるので $h(0)=0$ である。また条件より $\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1+t}}$ である。したがって $h(t)={\int }_0^t\frac{1}{\sqrt{1+u}}du=2\sqrt{1+t}-2$ である。水面の高さが $18$ cm になる時刻は $2\sqrt{1+t}-2=18$ より $\sqrt{1+t}=10$ である。したがって $t=99$ 秒後である。

【(2)】高さ $y$ まで水が入ったときの水量を $V(y)$ とする。容器は $y$ 軸のまわりの回転体なので、高さ $u$ における断面の半径は $f(u)$ であり、$V(y)=\pi {\int }_0^{y}f(u{)}^{2}du$ である。時刻 $t$ では $y=h(t)$ だから、水量は $V(h(t))$ である。一方、毎秒 $a{\mathrm{cm}}^3$ ずつ水を入れるので $\frac{d}{dt}V(h(t))=a$ である。連鎖的に微分すると $\pi f(h(t){)}^2\frac{dh}{dt}=a$ である。

ここで $h(t)=y$ とおくと、(1)の式から $y=2\sqrt{1+t}-2$ すなわち $\sqrt{1+t}=\frac{y+2}{2}$ である。したがって $\frac{dh}{dt}=\frac{1}{\sqrt{1+t}}=\frac{2}{y+2}$ となる。これを $\pi f(y{)}^2\frac{2}{y+2}=a$ に代入して $f(y{)}^2=\frac{a(y+2)}{2\pi }$ を得る。$f(y)$ は正の値をとるので $f(y)=\sqrt{\frac{a(y+2)}{2\pi }}(0\leqq y\leqq 30)$ である。