問題
空間において，点を，平面をとし，平面上の円をとする．
(1) 平面と平面との交線の方向ベクトルと，に垂直で平面に平行なベクトルを求めよ．
(2) 原点と上の点に対しとおく．直線が円と交わるための，の満たすべき条件を求めよ．
出典：東北大学 1989年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1)は平面 の法線ベクトルと 平面との交線を使って を決め、さらに には「平面に平行」と「 に垂直」の2条件を課す。(2)のDB本文は となっているが、これでは平面上の一般点を表せないため、平面座標として自然な と読んで条件を求める。直線 と 平面の交点を出し、それが円 上にある条件にする。
解答
【(1)】平面 は であり、法線ベクトルは である。 と 平面との交線では かつ である。第1成分が となる方向ベクトルを選ぶと である。
次に とおく。 が に平行である条件は すなわち である。また が に垂直である条件は すなわち である。よって であり、これを に代入して を得る。したがって である。
【(2)】DB本文では と記されているが、このままでは が2直線の共通部分に限られ、平面 上の一般点を表せない。以下では、平面 上の座標表示として と読む。
このとき である。点 と を結ぶ直線上の点を と表す。 となるのは より、 のとき である。したがって直線 と 平面との交点は である。 のとき直線 は 平面と交わらないので除く。
円 は 平面上の であるから、直線 が と交わるための条件は である。すなわち である。