東北大学 1989年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ を $a ≧ 1$ ， $a \neq = 2$ ， $b > 0$ なる定数とし， $x$ の関数 $f (x) = 2 e^{2 x} - a e^{x} + b x$ を考える．

(1) $f (x)$ が単調増加となるとき， $a$ ， $b$ の満たすべき条件を求めよ．

(2) $y = f (x)$ ， $y = b x$ ， $x = 0$ により囲まれる図形の面積 $S$ を求めよ．

(3) (1)の条件のもとで $a$ を動かすとき， $S$ の最大値 $M$ を $b$ の関数として表せ．

出典：東北大学 1989年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1)は $u = e^{x} > 0$ とおき、導関数が常に非負となる条件を2次式の最小値で調べる。(2)は $f (x) - b x = 2 e^{2 x} - a e^{x}$ の零点 $x = 0$ と $x = lo g (a /2)$ の間を積分し、向きに応じて絶対値を取る。(3)は固定した $b$ のもとで許される $a$ の範囲 $1 ≦ a ≦ 4 b$ において、 $S = (a - 2)^{2} /4$ の最大値を端点比較で決める。

解答

【(1)】 $f (x) = 2 e^{2 x} - a e^{x} + b x$ より $f^{'} (x) = 4 e^{2 x} - a e^{x} + b$ である。 $u = e^{x}$ とおくと $u > 0$ であり、単調増加となるための条件は $4 u^{2} - a u + b ≧ 0 (u > 0)$ である。

ここで $a ≧ 1$ なので、この2次式の頂点は $u = \frac{a}{8} > 0$ にある。したがって最小値は $4 (\frac{a}{8})^{2} - a \cdot \frac{a}{8} + b = b - \frac{a ^{2}}{16}$ である。よって条件は $b ≧ \frac{a ^{2}}{16}$ である。もとの条件 $a ≧ 1$ , $a \neq = 2$ , $b > 0$ と合わせて、 $a ≧ 1, a \neq = 2, b ≧ \frac{a ^{2}}{16}$ である。

【(2)】2曲線 $y = f (x)$ , $y = b x$ の差は $f (x) - b x = 2 e^{2 x} - a e^{x} = e^{x} (2 e^{x} - a)$ である。交点は $e^{x} = \frac{a}{2}$ より $x = lo g \frac{a}{2}$ である。また $x = 0$ も境界として与えられている。したがって囲まれる部分の面積 $S$ は $S = \int_{0}^{l o g (a /2)} (2 e^{2 x} - a e^{x}) d x$ である。原始関数は $e^{2 x} - a e^{x}$ だから

\int_{0}^{l o g (a /2)} (2 e^{2 x} - a e^{x}) d x = [e^{2 x} - a e^{x}]_{0}^{l o g (a /2)} = (\frac{a ^{2}}{4} - \frac{a ^{2}}{2}) - (1 - a) = - \frac{( a - 2 ) ^{2}}{4} .

よって $S = \frac{( a - 2 ) ^{2}}{4}$ である。

【(3)】(1)の条件から、固定した $b$ に対して許される $a$ は $1 ≦ a ≦ 4 b, a \neq = 2$ である。この範囲が空でないためには $4 b ≧ 1$ すなわち $b ≧ \frac{1}{16}$ が必要である。 $S = (a - 2)^{2} /4$ は $a = 2$ から遠いほど大きい。区間の左端 $a = 1$ では $S = \frac{1}{4}$ であり、右端 $a = 4 b$ では $S = \frac{( 4 b - 2 ) ^{2}}{4} = (2 b - 1)^{2}$ である。したがって $M = max {\frac{1}{4}, (2 b - 1)^{2}}$ である。両者が等しくなるのは $(2 b - 1)^{2} = \frac{1}{4}$ で、 $b ≧ 1/16$ の範囲で比較すると境目は $b = 9/16$ である。よって

M = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{1}{4} (2 b - 1)^{2} (\frac{1}{16} ≦ b ≦ \frac{9}{16}), (b ≧ \frac{9}{16}) .

なお、 $b < 1/16$ では(1)の条件を満たす $a$ が存在しない。

東北大学 1989年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

東北大学 1989年度
理系数学前期第5問