東北大学 1989年度
理系数学 前期 第2問

解答

【(1)】 $c=\cos \theta ,s=\sin \theta$ とおく。$0<\theta <\frac{\pi }{2}$ より $c>0$ である。行列 $A$ は

と書ける。右の行列は角 $\theta$ の回転を表し、さらに全体が $c$ 倍される。したがってこの1次変換は、原点中心の回転と相似比 $c$ の拡大縮小を組み合わせたものである。

円 $C:(x-2{)}^2+y^2=\frac{4}{3}$ の中心は $(2,0)$、半径は $2/\sqrt{3}$ である。中心 $(2,0)$ は

へ移る。また半径は $c$ 倍されるので、移った曲線 $C_1$ は円であり、その中心は $(2{\cos }^2\theta ,2\sin \theta \cos \theta )$ 半径は $\frac{2\cos \theta }{\sqrt{3}}$ である。

【(2)】元の円 $C$ の中心を $O_1=(2,0)$、$C_1$ の中心を $O_2=(2c^2,2sc)$ とする。中心間距離は

外接するためには、中心間距離が半径の和に等しいから $2s=\frac{2}{\sqrt{3}}+\frac{2c}{\sqrt{3}}$ である。すなわち $s=\frac{1+c}{\sqrt{3}}$ である。両辺を2乗して $s^2=1-c^2$ を用いると $1-c^2=\frac{(1+c{)}^2}{3}$ より $3-3c^2=1+2c+c^2$ となる。したがって $2c^2+c-1=0$ であり、$(2c-1)(c+1)=0.$ $0<c<1$ だから $c=1/2$ である。よって $\theta =\frac{\pi }{3}$ である。