東北大学 1988年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

半円 $C : x^{2} + y^{2} = 1$ ， $y ≧ 0$ と $x$ 軸上に点 $A (a, 0)$ が与えられている．ただし $a > 1$ とする． $C$ 上の点 $P$ から $x$ 軸に垂線 $P Q$ を下ろし，三角形 $A P Q$ の面積を $S_{a} (P)$ で表す．

(1) $C$ 上に $n + 1$ 個の点 $P_{0} (1, 0)$ ， $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $\dots\dots$ ， $P_{n} (- 1, 0)$ がこの順序に等間隔に並んでいるとき，極限値 $M (a) = n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n S_{a} (P_{k})$ を求めよ．

(2) $M (a) = S_{a} (P)$ を満たす $C$ 上の点 $P$ のうちで，その $x$ 座標が最大となるものを $(x_{a}, y_{a})$ とするとき， $a \to \infty lim y_{a}$ を求めよ．

出典：東北大学 1988年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

半円上の点を $P = (cos t, sin t)$ と置くと、三角形 $A P Q$ の底辺は $a - cos t$ 、高さは $sin t$ である。等間隔に並ぶ点は弧を等分する点なので、平均は $[0, π]$ 上の定積分の平均に収束する。後半は $M (a) = S_{a} (P)$ を $x, y$ で書き、 $x_{a}$ が常に $[- 1, 1]$ にあることを使って、 $a \to \infty$ で $x_{a} / a \to 0$ として極限を出す。

解答

(1)

半円 $C$ 上の点を $P = (cos t, sin t) (0 ≦ t ≦ π)$ とおく。このとき、 $Q = (cos t, 0)$ である。点 $A = (a, 0)$ かつ $a > 1$ なので、底辺 $A Q$ の長さは $a - cos t$ であり、高さ $P Q$ は $sin t$ である。したがって $S_{a} (P) = \frac{1}{2} (a - cos t) sin t$ である。

点 $P_{0}, P_{1}, \dots, P_{n}$ は半円上にこの順序に等間隔に並ぶので、 $P_{k}$ は $t_{k} = \frac{k π}{n}$ に対応する。よって $\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} S_{a} (P_{k})$ は、区間 $[0, π]$ における関数 $\frac{1}{2} (a - cos t) sin t$ の平均値に収束する。したがって $M (a) = \frac{1}{π} \int_{0}^{π} \frac{1}{2} (a - cos t) sin t d t$ である。計算すると

\int_{0}^{π} \frac{1}{2} (a - cos t) sin t d t = \frac{a}{2} \int_{0}^{π} sin t d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{π} cos t sin t d t = \frac{a}{2} \cdot 2 - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} sin^{2} t]_{0}^{π} = a .

よって $M (a) = \frac{a}{π}$ である。

(2)

$P = (x, y)$ とすると、半円上にあるので $- 1 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1$ である。また $S_{a} (P) = \frac{1}{2} (a - x) y$ である。(1)より $M (a) = \frac{a}{π}$ だから、条件 $M (a) = S_{a} (P)$ は $\frac{1}{2} (a - x) y = \frac{a}{π}$ すなわち $y (1 - \frac{x}{a}) = \frac{2}{π}$ である。

ここで、問題で選ばれる点 $(x_{a}, y_{a})$ についても常に $- 1 ≦ x_{a} ≦ 1$ である。したがって $\frac{x _{a}}{a} \to 0 (a \to \infty)$ である。上の関係式に $(x_{a}, y_{a})$ を代入すると $y_{a} (1 - \frac{x _{a}}{a}) = \frac{2}{π}$ であるから、 $a \to \infty$ として $lim_{a \to \infty} y_{a} = \frac{2}{π}$ を得る。

補足。 $x_{a}$ が最大となる点を具体的に解く必要はない。 $x_{a}$ が半円上の点の $x$ 座標である以上、 $- 1 ≦ x_{a} ≦ 1$ に必ず収まるため、 $a$ で割れば0に近づく。この有界性が極限計算の要点である。

東北大学 1988年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1988年度
理系数学前期第6問