東北大学 1988年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は任意の自然数 $n$ に対して

k = 0 \sum n - 1 3^{- k} a_{n - k} = \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}

を満たしているとする．このとき， $m ≧ 3$ に対して $n = 1 \sum m n a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1988年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

左辺を $B_{n} = \sum_{k = 0}^{n - 1} 3^{- k} a_{n - k}$ と見ると、 $B_{n}$ から $\frac{1}{3} B_{n - 1}$ を引けば $a_{n}$ だけが残る。これにより $a_{n}$ を明示し、求める $\sum n a_{n}$ は2つの分数和に分けて望遠和にする。 $n = 1$ は別に $a_{1} = \frac{1}{6}$ として扱い、 $m$ が3以上であることを使って整理する。

解答

与えられた式の右辺を $B_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}$ とおく。すると条件は $a_{n} + \frac{1}{3} a_{n - 1} + \frac{1}{3 ^{2}} a_{n - 2} + \dots + \frac{1}{3 ^{n - 1}} a_{1} = B_{n}$ である。特に $n = 1$ から $a_{1} = B_{1} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1}{6}$ である。 $n ≧ 2$ について、 $n$ の式から $\frac{1}{3}$ 倍した $n - 1$ の式を引くと、左辺では $a_{n}$ だけが残る。したがって $a_{n} = B_{n} - \frac{1}{3} B_{n - 1} (n ≧ 2)$ である。すなわち $a_{n} = \frac{1}{n ( n + 1 ) ( n + 2 )} - \frac{1}{3 ( n - 1 ) n ( n + 1 )}$ である。両辺に $n$ を掛けると $n a_{n} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} - \frac{1}{3 ( n - 1 ) ( n + 1 )} (n ≧ 2)$ となる。

よって

n = 1 \sum m n a_{n} = \frac{1}{6} + n = 2 \sum m \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} - \frac{1}{3} n = 2 \sum m \frac{1}{( n - 1 ) ( n + 1 )}

である。

まず $\frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2}$ なので $\sum_{n = 2}^{m} \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{3} - \frac{1}{m + 2}$ である。次に $\frac{1}{( n - 1 ) ( n + 1 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1})$ だから

n = 2 \sum m \frac{1}{( n - 1 ) ( n + 1 )} = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1})

である。

したがって

n = 1 \sum m n a_{n} = \frac{1}{6} + (\frac{1}{3} - \frac{1}{m + 2}) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} (\frac{3}{2} - \frac{1}{m} - \frac{1}{m + 1}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{m + 2} + \frac{1}{6 m} + \frac{1}{6 ( m + 1 )} .

通分すると

n = 1 \sum m n a_{n} = \frac{3 m ^{3} + m ^{2} + 4 m + 4}{12 m ( m + 1 ) ( m + 2 )} (m ≧ 3)

である。

補足。最初の引き算は、この問題の中心である。畳み込まれた和をそのまま解こうとするのではなく、隣の式との差を取ると $a_{n}$ が単独で取り出せる。

東北大学 1988年度理系数学 前期 第5問

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理系数学前期第5問