問題
を2以上の整数とする．1からまでの整数から無作為に相異なる3つの数をとり出して，それらのうち最大の数と最小の数の差をとする．
(1) 確率変数の確率分布を求めよ．
(2) の値が以下となる確率を求めよ．
出典：東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
取り出した3数の最大値と最小値の差を と固定する。最小値を選ぶ方法は 通りで、その間にある中間の数は 通りあるので、分布が求まる。 は の和であり、 と置いて等差・二乗和を使って整理する。別解として、全体を幅で分類する考え方を明示すると数え落としを防げる。
解答
(1)
取り出した3つの数の最小値を 、最大値を とする。このとき である。3つの数は相異なるので、差 は を動く。
差を と固定する。最小値 は を満たすので、選び方は 通りである。さらに、3つ目の数は と の間にある整数から選ぶので、 通りである。したがって となる取り出し方は 通りである。
全体の取り出し方は 通りだから、確率分布は
であり、それ以外の では確率は0である。
(2)
(1)より である。ここで とおくと、 は に対応し、 である。したがって
また
である。よって
である。
補足。幅 を固定したとき、両端の2数を先に決め、最後にその間の1数を選ぶと考えると、同じ組を二重に数えない。最大・最小が決まっているため、残り1数は必ず中間にあるからである。