東北大学 1988年度
理系数学 前期 第1問

解答

円の半径は5で、$\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}$ より、$D$ は $A$ の反対側の点である。$A,B,C,D$ はこの順に円周上にあるので、$A$ から $D$ までの半円上に $B,C$ がある。

弦 $AB=4$ に対する中心角を $\angle AOB=\alpha$ とおく。弦の長さの公式から $4=2\cdot 5\sin \frac{\alpha }{2}$ なので $\sin \frac{\alpha }{2}=\frac{2}{5}$ である。したがって $\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{\sqrt{21}}{5}$ であり、$\cos \alpha =1-2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=1-2\cdot \frac{4}{25}=\frac{17}{25}$ である。

また弦 $DC=5$ に対する中心角は $2\arcsin \frac{5}{2\cdot 5}=2\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$ である。つまり $\angle DOC=\frac{\pi }{3}$ である。

(1)

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ だから

である。よって

である。

(2)

交点 $P$ は弦 $AC$ と弦 $BD$ の交点である。円内で交わる2本の弦が作る角について、$\angle APB=\frac{1}{2}(\text{弧 }AB+\text{弧 }CD)$ が成り立つ。したがって $\theta =\frac{1}{2}\left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\alpha }{2}+\frac{\pi }{6}$ である。よって

(3)

座標を置いて計算する。$O=(0,0)$、$A=(5,0)$、$D=(-5,0)$ とする。上で求めた $\cos \alpha =\frac{17}{25}$ と

より

である。また $\angle DOC=\frac{\pi }{3}$ で、$C$ は $D$ から $A$ 側へ $\frac{\pi }{3}$ だけ進んだ点なので $C=\left(-\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$ である。したがって $\overrightarrow{AB}=B-A=\left(-\frac{8}{5},\frac{4\sqrt{21}}{5}\right)$ であり、$\overrightarrow{DC}=C-D=\left(\frac{5}{2},\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$ である。よって

別解。(3)は、$\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{DC}$ のなす角を円周上の角から求め、$|AB|=4$、$|DC|=5$ と合わせて内積を出すこともできる。ただし符号の判断がやや紛らわしいため、座標を置く方が計算の見通しはよい。