東北大学 1988年度
理系数学 前期 第2問

解答

図の対称軸を基準にして考える。おうぎ形の中心角は $4\theta$ なので、左右の半径は対称軸からそれぞれ $2\theta$ だけ傾いている。長方形の上の2頂点 $A,B$ は円周上にあり、$\angle AOB=2x$ だから、対称性より $0<x<2\theta$ である。

(1)

半径が1なので、点 $A,B$ の対称軸からの横方向の距離は $\sin x$、高さは $\cos x$ である。したがって長方形の幅は $2\sin x$ である。

一方、右側の半径は対称軸となす角が $2\theta$ である。横方向の距離が $\sin x$ の位置で、この半径上の高さは $\sin x\cot 2\theta$ である。したがって長方形の高さは $\cos x-\sin x\cot 2\theta$ である。よって面積は $S_{\theta }(x)=2\sin x\left(\cos x-\sin x\cot 2\theta \right)$ である。ここで $0<x<2\theta$ では $\tan x<\tan 2\theta$ なので、高さは正である。

(2)

(1)の式を変形すると $S_{\theta }(x)=2\sin x\cos x-2{\sin }^{2}x\cot 2\theta$ である。すなわち $S_{\theta }(x)=\sin 2x-(1-\cos 2x)\cot 2\theta$ である。微分すると $S_{\theta }^{\prime }(x)=2\cos 2x-2\sin 2x\cot 2\theta$ である。したがって停留条件は $\cos 2x=\sin 2x\cot 2\theta$ であり、$0<x<2\theta <\frac{\pi }{2}$ では $\sin 2x>0$ だから $\tan 2x=\tan 2\theta$ となる。この範囲では $2x=2\theta$ だけが成り立つので $x=\theta$ である。

また $x\to 0+0$ または $x\to 2\theta -0$ で長方形の面積は0に近づくので、内部の停留点 $x=\theta$ で最大となる。最大値は

である。ここで

だから

である。

(3)

(2)より $M(\theta )=\tan \theta \left(0<\theta <\frac{\pi }{4}\right)$ である。したがってグラフは $y=\tan \theta$ の $0<\theta <\frac{\pi }{4}$ の部分である。$\theta \to 0+0$ で $M(\theta )\to 0$ であり、$\theta \to \frac{\pi }{4}-0$ で $M(\theta )\to 1$ である。ただし端点は範囲に含まれないので、点 $(0,0)$、$(\frac{\pi }{4},1)$ はどちらも含まれない。$M(\theta )$ はこの区間で単調に増加する。

補足。最大となる $x=\theta$ は、上辺の中心角 $2x$ が半分の $2\theta$ になることを意味する。図形的には、上辺の位置が高すぎても幅が小さく、低すぎても高さが小さくなるため、その中間で面積が最大になる。