東北大学 1988年度
理系数学 前期 第3問

解答

まず $2x^2+x-1=(2x-1)(x+1)$ である。また、$x\ne 1$ において $\frac{2x^2+x-1}{x-1}=2x+3+\frac{2}{x-1}$ である。以下 $g(x)=\frac{2x^2+x-1}{x-1}$ とおくと、$f(x)=|g(x)|$ である。$g(x)=0$ となるのは $x=-1,x=\frac{1}{2}$ であり、$x=1$ では定義されない。

さらに $g^{\prime }(x)=2-\frac{2}{(x-1{)}^2}=\frac{2x(x-2)}{(x-1{)}^2}$ である。

(1)

符号を調べると、$g(x)$ は $(-\infty ,-1),\left(\frac{1}{2},1\right)$ で負、$\left(-1,\frac{1}{2}\right),(1,\infty )$ で正である。したがって、それぞれの区間で $f(x)=g(x)$ または $f(x)=-g(x)$ として増減を調べる。 $x=-1$ と $x=\frac{1}{2}$ では $f(x)=0$ であり、絶対値の折れ点なので極小値0をとる。

また $-1<x<\frac{1}{2}$ では $f(x)=g(x)$ であり、この区間の停留点は $x=0$ である。$g^{\prime }(x)$ は $(-1,0)$ で正、$(0,\frac{1}{2})$ で負だから、$x=0$ で極大となる。その値は $f(0)=\left|\frac{-1}{-1}\right|=1$ である。 $1<x<\infty$ では $f(x)=g(x)$ であり、停留点は $x=2$ である。$g^{\prime }(x)$ は $(1,2)$ で負、$(2,\infty )$ で正だから、$x=2$ で極小となる。その値は $f(2)=\left|\frac{8+2-1}{1}\right|=9$ である。

以上より極値は

である。

(2)

$x=1$ で分母が0になり、分子は $2\cdot 1^2+1-1=2\ne 0$ なので、垂直方向の漸近線は $x=1$ である。

また $g(x)=2x+3+\frac{2}{x-1}$ である。$x\to \infty$ では $g(x)>0$ なので $f(x)=g(x)$ となり、$f(x)-(2x+3)=\frac{2}{x-1}\to 0$ である。よって右側の斜めの漸近線は $y=2x+3$ である。

一方、$x\to -\infty$ では $g(x)<0$ なので $f(x)=-g(x)$ となり、$f(x)-(-2x-3)=-\frac{2}{x-1}\to 0$ である。よって左側の斜めの漸近線は $y=-2x-3$ である。

(3)

概形は次の情報を反映して描けばよい。 $x=-1,x=\frac{1}{2}$ で $x$ 軸に接するように折れ、値は0である。$-1<x<\frac{1}{2}$ では $x=0$ で極大値1をとる。$x=1$ は垂直方向の漸近線であり、左右どちらから近づいても $f(x)\to \infty$ である。$x>1$ では $x=2$ で極小値9をとり、その後は漸近線 $y=2x+3$ に近づく。$x\to -\infty$ では漸近線 $y=-2x-3$ に近づく。

補足。絶対値をつける前のグラフで負になる部分を $x$ 軸に関して折り返す、と考えても同じ概形が得られる。この見方を使うと、$x=-1$ と $x=\frac{1}{2}$ が折れ点の極小になる理由が分かりやすい。