東北大学 1987年度理系数学前期第6問解答・解説

問題

$0 < a < \frac{π}{2}$ とし， $f_{a} (x)$ を次の式で定義する．

f_{a} (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 a - ∣ x ∣}{2 a ^{2}} 0 (∣ x ∣ ≦ 2 a) (2 a < ∣ x ∣ ≦ π)

極限値 $a \to 0 lim \int_{- π}^{π} f_{a} (x) ∣ cos a x ∣ d x$ を求めよ．

出典：東北大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系前期第6問

方針

$f_{a} (x)$ は $∣ x ∣ ≦ 2 a$ の小さい区間でだけ正なので、積分範囲をそこに絞る。この区間では $∣ a x ∣ ≦ 2 a^{2}$ となり、 $a \to 0$ で $∣ cos a x ∣$ は一様に1へ近づく。残る $f_{a}$ の積分値を直接計算すると2なので、はさみうちで極限を求める。

解答

$f_{a} (x)$ は $∣ x ∣ ≦ 2 a$ でだけ正であり、それ以外では0である。したがって

\int_{- π}^{π} f_{a} (x) ∣ cos a x ∣ d x = \int_{- 2 a}^{2 a} \frac{2 a - ∣ x ∣}{2 a ^{2}} ∣ cos a x ∣ d x

である。

この積分区間では $∣ x ∣ ≦ 2 a$ だから $∣ a x ∣ ≦ 2 a^{2}$ である。 $a \to 0$ のとき $2 a^{2} \to 0$ なので、この区間全体で $∣ cos a x ∣$ は1に近づく。具体的には $cos (2 a^{2}) ≦ ∣ cos a x ∣ ≦ 1$ が成り立つ。

また、重みの部分の積分は

\int_{- 2 a}^{2 a} \frac{2 a - ∣ x ∣}{2 a ^{2}} d x = 2 \int_{0}^{2 a} \frac{2 a - x}{2 a ^{2}} d x = \frac{1}{a ^{2}} [2 a x - \frac{x ^{2}}{2}]_{0}^{2 a} = 2.

である。したがって $2 cos (2 a^{2}) ≦ \int_{- π}^{π} f_{a} (x) ∣ cos a x ∣ d x ≦ 2$ である。両端は $a \to 0$ でともに2に近づくから、はさみうちにより $lim_{a \to 0} \int_{- π}^{π} f_{a} (x) ∣ cos a x ∣ d x = 2$ である。

東北大学 1987年度理系数学 前期 第6問

問題

方針

解答

東北大学 1987年度
理系数学前期第6問