問題
，を正の整数とする．関数
が次の3つの条件を同時に満たすような，の組をすべて求めよ．
(i)
(ii) は極値をもつ．
(iii) で定義される，，が等比数列をなす．
出典：東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
3条件を順に整数条件へ直す。 は一次不等式、極値をもつ条件は導関数の判別式が正であること。 は積分して明示し、等比数列条件を として整理する。ここで が出るので、 の場合と の場合を別々に、正の整数条件まで丁寧に絞る。
解答
まず条件(i)を調べる。 だから すなわち である。
次に条件(ii)を調べる。 である。 が極値をもつには、2次方程式 が異なる2つの実数解をもてばよい。判別式より すなわち である。
次に条件(iii)を計算する。原始関数は である。したがって である。 が等比数列をなす条件は である。代入して整理すると となる。よって である。
【場合1：】条件(i)は より、 は正の整数なので である。条件(ii)は すなわち であるから である。したがって を得る。
【場合2：】条件(i)は より である。条件(ii)は であり、 は正の整数なので である。したがって を得る。
以上を合わせる。ただし は両方の場合に含まれる。求める組は
である。