東北大学 1987年度
理系数学 前期 第3問

解答

$y=e^x$ の $x=u$ における接線は $y=e^u(x-u)+e^u=e^{u}x+e^u(1-u)$ である。この直線が $y=a{x}^2$ にも接するとする。交点を調べると $a{x}^2=e^{u}x+e^u(1-u)$ すなわち $a{x}^2-e^{u}x-e^u(1-u)=0$ である。接するためには、この2次方程式が重解をもてばよい。判別式を0として $e^{2u}+4a{e}^u(1-u)=0$ を得る。したがって $a=\frac{e^u}{4(u-1)}$ である。右辺を $\varphi (u)=\frac{e^u}{4(u-1)}(u\ne 1)$ とおく。

まず $u<1$ では $\varphi (u)<0$ である。また ${\varphi }^{\prime }(u)=\frac{(u-2)e^u}{4(u-1{)}^2}$ なので、$u<1$ では ${\varphi }^{\prime }(u)<0$ である。さらに ${\lim }_{u\to -\infty }\varphi (u)=0,{\lim }_{u\to 1-}\varphi (u)=-\infty$ である。よって $a<0$ のときは、対応する $u<1$ がただ1つ存在し、共通接線は1本である。

次に $u>1$ では $\varphi (u)>0$ である。導関数の符号から、$\varphi (u)$ は $1<u<2$ で減少し、$u>2$ で増加する。最小値は $u=2$ のときで $\varphi (2)=\frac{e^2}{4}$ である。また $u\to 1+$ と $u\to \infty$ で $\varphi (u)\to \infty$ となる。

したがって共通接線の本数は

である。