東北大学 1987年度
理系数学 前期 第5問

解答

求める球の中心を $(p,q,h)$、半径を $R$ とする。$xy$ 平面、すなわち $z=0$ で切った円の中心は $(p,q,0)$ である。与えられた切り口が $(x+1{)}^2+y^2=2$ だから $p=-1,q=0$ である。よって球の中心は $(-1,0,h)$ とおける。

この球を $z=0$ で切ると、切り口の半径の2乗は $R^2-h^2$ である。切り口の円の半径の2乗は2なので $R^2-h^2=2$ すなわち $R^2=h^2+2$ である。

また、球は平面 $4x+2\sqrt{2}y-z=4$ に接する。これは $4x+2\sqrt{2}y-z-4=0$ である。中心 $(-1,0,h)$ からこの平面までの距離は

である。接する条件はこの距離が半径 $R$ に等しいことだから $\frac{|h+8|}{5}=\sqrt{h^2+2}$ である。両辺を2乗して $(h+8{)}^2=25(h^2+2)$ すなわち $12h^2-8h-7=0$ を得る。よって $h=\frac{7}{6}\text{または}h=-\frac{1}{2}$ である。 $h=\frac{7}{6}$ のとき $R^2=\frac{49}{36}+2=\frac{121}{36}$、$h=-\frac{1}{2}$ のとき $R^2=\frac{1}{4}+2=\frac{9}{4}$ である。したがって求める球は $(x+1{)}^2+y^2+{\left(z-\frac{7}{6}\right)}^2=\frac{121}{36}$ および $(x+1{)}^2+y^2+{\left(z+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$ である。