東北大学 1987年度
理系数学 前期 第1問

解答

$C=\cos \theta$、$S=\sin \theta$ とおく。右辺の積を成分で計算すると、第1行は $(xC+yS,-xS+yC)$ 第2行は $(yC+xS,-yS+xC)$ である。これが第1行 $(a,b)$、第2行 $(0,c)$ の行列に等しくなればよい。

まず下左成分を0にするために $yC+xS=0$ を満たすように $\theta$ を選ぶ。条件 $a^2+b^2=c^2$、$b\ne 0$ より $c\ne 0$ かつ $|c|>|a|$ である。したがって $a+c\ne 0$ であり、$\tan \theta =-\frac{b}{a+c}$ を満たす $\theta$ がただ1つ $-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$ に存在する。この範囲では $C=\cos \theta >0$ である。

この $\theta$ に対して $\cos 2\theta =\frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }=\frac{a}{c},$ $\sin 2\theta =\frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }=-\frac{b}{c}$ が成り立つ。ここでは $a^2+b^2=c^2$ を用いて整理している。

成分比較から、下左成分が0であることに加えて $a=xC+yS,b=-xS+yC,c=-yS+xC$ が必要である。$yC+xS=0$ より $y=-x\frac{S}{C}$ であり、これを $c=-yS+xC$ に代入すると $c=x\left(\frac{S^2}{C}+C\right)=\frac{x}{C}$ である。よって $x=cC$ である。また $y=-x\frac{S}{C}=-cS$ である。

これを $C$ だけで表すと、$2C^2-1=\cos 2\theta =\frac{a}{c}$ より $C^2=\frac{a+c}{2c}$ であり、$C>0$ だから $C=\sqrt{\frac{a+c}{2c}}$ である。したがって $x=cC=\frac{a+c}{2C},y=-cS=\frac{b}{2C}$ となる。すなわち $x=\frac{a+c}{2\cos \theta },y=\frac{b}{2\cos \theta }$ である。これにより右辺の各成分は確かに $(a,b),(0,c)$ と一致する。