問題
4枚1組のカードが2組ある．正しいサイコロを投げて，1，2，3，4の目が出たときは枚数の多い組から，5，6の目が出たときは枚数の少ない組からカードを1枚除く．ただし，2組のカードの枚数が等しいときには，どちらの組から除いてもよい．このような試行を続けて，どちらか一方の組のカードが全部なくなったときに他方の組に残っているカードの枚数をとする．
確率変数の確率分布と期待値を求めよ．
出典：東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
2組の枚数を多い方から と並べて状態を表す。 では多い組から除く確率が 、少ない組から除く確率が 。 ではどちらを除んでも次の状態は と同じである。小さい状態から の分布を順に求め、初期状態 の分布を得る。最後に期待値を計算する。
解答
2組の残り枚数を、多い方から順に と書くことにする。 のときは、どちらの組から除いても次の状態は で同じである。 のとき、多い組から除く確率は 、少ない組から除く確率は である。
状態 から始めたときの の分布を小さい状態から順に求める。明らかに である。これをもとに計算すると
さらに
となる。
初期状態は であり、1回除くと必ず状態 になる。したがって初期状態からの分布も と同じで、
である。なお 、 なので確率の和は である。
期待値は
である。