東北大学 1981年度
理系数学 前期 第6問

解答

(1)

時刻 $t=0$ で $(x,y)=(0,1)$ である。与えられた式より $x(0)=f(0)\sin 0=0,y(0)=f(0)\cos 0=f(0)$ だから $f(0)=1$ である。

次に速度を求める。 $x=f(t)\sin t,y=f(t)\cos t$ より $x^{\prime }=f^{\prime }(t)\sin t+f(t)\cos t$ であり、$y^{\prime }=f^{\prime }(t)\cos t-f(t)\sin t$ である。したがって速さの2乗は $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=(f^{\prime }{)}^2({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)+f^2({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)$ であり、交差項は打ち消し合う。よって $(x^{\prime }{)}^2+(y^{\prime }{)}^2=(f^{\prime }{)}^2+f^2$ である。

速さは $2f(t)$ に等しいので、特に $f(t)\geqq 0$ である。また $(f^{\prime }{)}^2+f^2=4f^2$ だから $(f^{\prime }{)}^2=3f^2$ である。点 $P$ と原点の距離は $\sqrt{x^2+y^2}=|f(t)|=f(t)$ である。$t$ が限りなく大きくなると原点に近づくので $f(t)\to 0$ である。初期値 $f(0)=1$ から0へ近づくため、選ぶべき符号は $f^{\prime }=-\sqrt{3}f$ である。

これを解くと $\frac{f^{\prime }}{f}=-\sqrt{3}$ であり、$f(t)=C{e}^{-\sqrt{3}t}$ となる。$f(0)=1$ より $C=1$ だから $f(t)=e^{-\sqrt{3}t}$ である。

(2)

時刻 $t$ における速さは $2f(t)$ であるから、時刻0から時刻 $a$ までの道のりを $L$ とすると $L={\int }_0^{a}2f(t)dt=2{\int }_0^a{e}^{-\sqrt{3}t}dt$ である。したがって

である。よって $\frac{2}{\sqrt{3}}(1-e^{-\sqrt{3}a})$ である。