東北大学 1981年度
理系数学 前期 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 図形と方程式、積分、関数
- 解法
- 場合分け、面積計算、微分による最大最小
- 難易度
- 7 / 10 計算量 6 / 10 目安 18〜28分
問題
平面上で不等式
0≦y≦2x≦6および−x2+4x−3≦y≦2
を同時に満たす領域をDとする．
(1) aは0≦a≦2の範囲の定数とする．このとき，不等式a≦x≦a+1を満たす領域とDとの共通部分の面積S(a)を求めよ．
(2) aが0≦a≦2の範囲を動くとき，S(a)の最大値および最小値を求めよ．
出典：東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
まず領域 D を固定した x で縦に切り、上端と下端を整理する。0≦x≦1 では幅が 2x、1≦x≦3 では幅が 2−(−x2+4x−3)=x2−4x+5 になる。幅1の縦帯 a≦x≦a+1 は、0≦a≦1 では境目 x=1 をまたぎ、1≦a≦2 では右側だけに入るので、そこで場合分けする。最大最小は各式を微分し、端点も含めて比較する。
解答
(1)
まず領域 D の縦の幅を求める。条件 0≦y≦2x≦6 から 0≦x≦3 であり、上側の候補は y=2x と y=2 である。また下側の候補は y=0 と y=−x2+4x−3=−(x−1)(x−3) である。 0≦x≦1 では 2x≦2 で、かつ −x2+4x−3≦0 だから、縦の幅は 2x−0=2x である。1≦x≦3 では上端が 2、下端が −x2+4x−3 なので、縦の幅は 2−(−x2+4x−3)=x2−4x+5 である。 0≦a≦1 のとき、縦帯 a≦x≦a+1 は x=1 をまたぐ。したがって S(a)=∫a12xdx+∫1a+1(x2−4x+5)dx である。計算すると ∫a12xdx=1−a2 であり、
∫1a+1(x2−4x+5)dx=[3x3−2x2+5x]1a+1=3a3−a2+2a
である。よって S(a)=3a3−2a2+2a+1(0≦a≦1) である。 1≦a≦2 のとき、縦帯はすべて 1≦x≦3 の範囲に入る。したがって S(a)=∫aa+1(x2−4x+5)dx である。これを計算して S(a)=[3x3−2x2+5x]aa+1=a2−3a+310 となる。よって S(a)=a2−3a+310(1≦a≦2) である。
(2)
まず 0≦a≦1 で考える。この範囲では S(a)=3a3−2a2+2a+1 だから S′(a)=a2−4a+2 である。S′(a)=0 より a=2±2 であり、このうち [0,1] に入るのは a=2−2 である。端点と合わせて値を調べると S(0)=1,S(1)=34 であり、S(2−2)=342−1 である。
次に 1≦a≦2 では S(a)=a2−3a+310 であるから S′(a)=2a−3 である。したがって a=3/2 で最小となり、S(23)=1213 である。また S(1)=S(2)=34 である。
以上を比較すると、最大値は 342−1 で、そのとき a=2−2 である。最小値は 1 で、そのとき a=0 である。
