東北大学 1981年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

放物線 $y = x^{2}$ 上を動く点 $P$ があって，時刻 $t = 0$ のときの位置は原点である．また時刻 $t$ のとき， $P$ の速度ベクトルの $x$ 成分は， $sin t$ である．速度ベクトルの $y$ 成分が最大となるときの $P$ の位置を求めよ．
また，そのときにおける $P$ の速度ベクトルおよび加速度ベクトルを求めよ．

出典：東北大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

速度の $x$ 成分が $sin t$ で、初期位置が原点なので、まず $x (t) = \int_{0}^{t} sin s d s = 1 - cos t$ を求める。点は放物線 $y = x^{2}$ 上にあるから $y (t) = (1 - cos t)^{2}$ となり、速度の $y$ 成分は $2 (1 - cos t) sin t$ である。この最大値は $cos t = c$ と置いて $4 (1 - c)^{3} (1 + c)$ を最大にすることで求める。最後に、その時刻での位置、速度、加速度を順に計算する。

解答

速度ベクトルの $x$ 成分が $sin t$ なので $x^{'} (t) = sin t$ である。時刻 $t = 0$ で原点にあるから $x (0) = 0$ であり、 $x (t) = \int_{0}^{t} sin s d s = 1 - cos t$ である。点 $P$ は放物線 $y = x^{2}$ 上を動くので $y (t) = x (t)^{2} = (1 - cos t)^{2}$ である。

したがって速度ベクトルは $(x^{'} (t), y^{'} (t)) = (sin t, 2 (1 - cos t) sin t)$ である。速度の $y$ 成分を $g (t) = 2 (1 - cos t) sin t$ とおく。最大値を考えるときは $g (t) > 0$ となるので $sin t > 0$ としてよい。 $c = cos t$ とおくと、 $- 1 ≦ c ≦ 1$ であり、 $sin t > 0$ の範囲では $g (t)^{2} = 4 (1 - c)^{2} (1 - c^{2}) = 4 (1 - c)^{3} (1 + c)$ である。

そこで $h (c) = (1 - c)^{3} (1 + c)$ を $- 1 ≦ c ≦ 1$ で調べる。微分すると $h^{'} (c) = - 3 (1 - c)^{2} (1 + c) + (1 - c)^{3} = - 2 (1 - c)^{2} (1 + 2 c)$ である。よって内部の候補は $c = - \frac{1}{2}$ である。端点 $c = - 1, 1$ では $g (t) = 0$ だから、最大は $cos t = - \frac{1}{2}, sin t = \frac{3}{2}$ のときにとられる。

このとき $x = 1 - (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}, y = x^{2} = \frac{9}{4}$ である。したがって点 $P$ の位置は $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$ である。

速度ベクトルは

(sin t, 2 (1 - cos t) sin t) = (\frac{3}{2}, 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2})

だから $(\frac{3}{2}, \frac{3 3}{2})$ である。

加速度ベクトルを求める。まず $x^{''} (t) = cos t = - \frac{1}{2}$ である。また $y = x^{2}$ より $y^{'} = 2 x x^{'}, y^{''} = 2 {(x^{'})^{2} + x x^{''}}$ であるから

y^{''} = 2 ⎩ ⎨ ⎧ (\frac{3}{2})^{2} + \frac{3}{2} (- \frac{1}{2}) ⎭ ⎬ ⎫ = 0

である。よって加速度ベクトルは $(- \frac{1}{2}, 0)$ である。

東北大学 1981年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

東北大学 1981年度
理系数学前期第3問