問題
次の2平面が与えられている．
このとき，平面との交わりの直線方向の単位ベクトルを求めよ．また，平面に平行でに垂直な単位ベクトルを求めよ．ただし，，の成分はいずれも正とする．
出典：東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
平面 と の交線方向は、両方の法線ベクトルに垂直な方向である。したがって と置いて2つの内積条件を解き、最後に長さ1で 成分が正になる向きを選ぶ。 は平面 に平行なので の法線に垂直であり、さらに にも垂直である。この2条件を成分方程式で解いて単位ベクトル化する。
解答
平面 の法線ベクトルは であり、平面 の法線ベクトルは である。
まず、交わりの直線方向のベクトルを とおく。このベクトルは2つの平面に平行なので、両方の法線ベクトルに垂直である。したがって である。この連立を解く。第1式を5倍、第2式を3倍して加えると より である。例えば とすると となり、第1式から より である。よって方向ベクトルとして を取れる。その長さは であり、 成分は正である。したがって
である。
次に とおく。 は平面 に平行なので である。また に垂直であるから、 に垂直として である。この連立を解く。第1式を4倍、第2式を12倍して引くと すなわち となる。直接確認しやすい解として を取ると、 かつ であり、条件を満たす。長さは で、 成分も正である。したがって
である。