東北大学 1981年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots\dots$ を次のようにして定める．初項 $a_{1}$ $(a_{1} \neq = 0, a_{1} \neq = 2)$ は与えられた実数である．次に $a_{n}$ が与えられたとき，曲線 $y = \frac{1}{x} - 1$ 上に， $x$ 座標が $a_{n}$ である点 $P$ をとる． $P$ においてこの曲線に引いた接線が $x$ 軸と交わる点を $Q$ とすると， $Q$ の $x$ 座標が $a_{n + 1}$ である $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ ．

(1) $a_{n + 1} - 1$ と $a_{n} - 1$ との関係を調べよ．

(2) $a_{n}$ を $a_{1}$ の式で表し， $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

出典：東北大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

接線を具体的に書き、 $y = 0$ とおいて $a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n}^{2}$ を得る。これを $a_{n + 1} - 1 = - (a_{n} - 1)^{2}$ に直すと、 $b_{n} = a_{n} - 1$ が $b_{n + 1} = - b_{n}^{2}$ を満たす。2回目以降は $b_{n} = - (a_{1} - 1)^{2^{n - 1}}$ と表せるので、 $∣ a_{1} - 1∣ < 1$ と $∣ a_{1} - 1∣ > 1$ に分けて極限を決める。 $a_{1} = 0, 2$ が除かれているため境界の場合は生じない。

解答

(1)

曲線 $y = \frac{1}{x} - 1$ の導関数は $y^{'} = - \frac{1}{x ^{2}}$ である。点 $P$ の $x$ 座標は $a_{n}$ なので、 $P$ の座標は $(a_{n}, \frac{1}{a _{n}} - 1)$ である。したがって $P$ における接線は $y - (\frac{1}{a _{n}} - 1) = - \frac{1}{a _{n}^{2}} (x - a_{n})$ である。

この接線が $x$ 軸と交わる点では $y = 0$ であるから $- (\frac{1}{a _{n}} - 1) = - \frac{1}{a _{n}^{2}} (x - a_{n})$ となる。両辺に $- a_{n}^{2}$ を掛けると $a_{n}^{2} (\frac{1}{a _{n}} - 1) = x - a_{n}$ であり、左辺は $a_{n} - a_{n}^{2}$ である。よって $x = 2 a_{n} - a_{n}^{2}$ である。この $x$ 座標が $a_{n + 1}$ だから $a_{n + 1} = 2 a_{n} - a_{n}^{2}$ である。したがって $a_{n + 1} - 1 = 2 a_{n} - a_{n}^{2} - 1 = - (a_{n} - 1)^{2}$ である。

(2)

$b_{n} = a_{n} - 1$ とおくと、(1) より $b_{n + 1} = - b_{n}^{2}$ である。特に $b_{2} = - (a_{1} - 1)^{2}, b_{3} = - b_{2}^{2} = - (a_{1} - 1)^{4}$ となる。これをくり返すと、 $n ≧ 2$ で $b_{n} = - (a_{1} - 1)^{2^{n - 1}}$ である。したがって $a_{n} = 1 - (a_{1} - 1)^{2^{n - 1}} (n ≧ 2)$ である。なお $n = 1$ では、もちろん $a_{n} = a_{1}$ である。

極限を調べる。 $0 < a_{1} < 2$ のときは $∣ a_{1} - 1∣ < 1$ であるから $(a_{1} - 1)^{2^{n - 1}} \to 0$ となる。よって $lim_{n \to \infty} a_{n} = 1 (0 < a_{1} < 2)$ である。

一方、 $a_{1} < 0$ または $a_{1} > 2$ のときは $∣ a_{1} - 1∣ > 1$ である。指数 $2^{n - 1}$ は偶数なので $(a_{1} - 1)^{2^{n - 1}} \to + \infty$ であり、したがって $a_{n} = 1 - (a_{1} - 1)^{2^{n - 1}} \to - \infty$ となる。ゆえに $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty (a_{1} < 0 または a_{1} > 2)$ である。問題で $a_{1} = 0, 2$ が除かれているので、 $∣ a_{1} - 1∣ = 1$ の場合は考えなくてよい。

東北大学 1981年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1981年度
理系数学前期第4問