東北大学 1981年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$M = {(a b - b a) a, b は実数}$ とする．

(1) $O$ でない $M$ の行列 $A$ に対して， $A X = O$ を満たす $M$ の行列 $X$ を求めよ．ただし， $O = (0000)$ である．

(2) $X^{3} = (01 - 1 0)$ を満たす $M$ の行列 $X$ を求めよ．

出典：東北大学 1981年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

集合 $M$ の行列どうしの積を成分で計算すると、実数の組 $(a, b)$ に対して積の規則が保たれる。(1) は $A \neq = O$ のとき $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ であることを使い、 $A X = O$ の連立から $X = O$ だけを得る。(2) は $X$ を $r, θ$ で $(r cos θ r sin θ - r sin θ r cos θ)$ と表し、3乗で大きさが3乗、角が3倍になることを成分計算として使う。候補は3つ出る。

解答

(1)

A = (a b - b a), X = (x y - y x)

とおく。積を計算すると

A X = (a x - b y a y + b x - (a y + b x) a x - b y)

である。これが零行列 $O$ に等しいので $a x - b y = 0, a y + b x = 0$ である。

第1式に $a$ 、第2式に $b$ を掛けて加えると $a (a x - b y) + b (a y + b x) = 0$ すなわち $(a^{2} + b^{2}) x = 0$ である。また第2式に $a$ 、第1式に $b$ を掛けて引くと $a (a y + b x) - b (a x - b y) = 0$ より $(a^{2} + b^{2}) y = 0$ である。 $A \neq = O$ だから $(a, b) \neq = (0, 0)$ であり、 $a^{2} + b^{2} \neq = 0$ である。したがって $x = 0, y = 0$ となる。よって $X = O$ である。

(2)

$X \in M$ を

X = (r cos θ r sin θ - r sin θ r cos θ) (r ≧ 0)

と表す。 $M$ の行列の積を成分で計算すると、この形の行列では大きさが掛け合わされ、角が加わる。したがって

X^{3} = (r^{3} cos 3 θ r^{3} sin 3 θ - r^{3} sin 3 θ r^{3} cos 3 θ)

である。

これが

(01 - 1 0)

に等しいので $r^{3} = 1, cos 3 θ = 0, sin 3 θ = 1$ である。よって $r = 1, 3 θ = \frac{π}{2} + 2 k π$ となる。3乗で同じ行列になるものは、 $k = 0, 1, 2$ を取ればすべてである。したがって

θ = \frac{π}{6}, θ = \frac{5 π}{6}, θ = \frac{3 π}{2}

である。

それぞれを行列に直すと

\frac{3}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \frac{3}{2}, - \frac{3}{2} \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - \frac{3}{2}, (0 - 1 10)

である。

東北大学 1981年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 1981年度
理系数学前期第5問