問題
空間に4点 ，，， をとる。四面体 の をみたす部分の体積を求めよ。
出典：東京工業大学 2012年度 前期日程 理系 第6問
方針
底面 は原点を中心とする正三角形で，内接円が ，外接円の半径が2である。高さ の水平断面は底面を原点中心に相似比 で縮小した正三角形になる。円柱 の外側に残る断面積を，三角形の対称性と三角比で角度ごとに表し， について積分する。逆三角関数の記号は使わず， で定まる角 に変数を替えて評価する。
解答
底面 は，原点を中心とし，内接円の半径が1，外接円の半径が2である正三角形である。高さ の水平断面は，底面を原点中心に相似比 で縮小した正三角形である。したがって ， であり， である。
断面が円 の外側をもつのは，その外接円半径 が1以上のとき，すなわち のときだけである。この断面における外側部分の面積を とする。
正三角形を原点から見た3つの合同な部分に分ける。1つの部分で，辺の法線方向からの角を とすると であり，その方向の辺までの距離は である。 となる境の角を とおくと，， である。よって1つの部分の左右対称性を用いると
である。ただし を用いた。
求める体積 は
である。ここで とおくと， で ， で であり，
となる。各項を積分すると
である。