東京工業大学 2012年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を正の整数とする。数列 ${a_{k}}$ を

a_{1} = \frac{1}{n ( n + 1 )}, a_{k + 1} = - \frac{1}{k + n + 1} + \frac{n}{k} i = 1 \sum k a_{i} (k = 1, 2, 3, \dots)

によって定める。

(1) $a_{2}$ および $a_{3}$ を求めよ。

(2) 一般項 $a_{k}$ を求めよ。

(3) $b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ とおくとき， $lim_{n \to \infty} b_{n} = lo g 2$ を示せ。

出典：東京工業大学 2012年度前期日程理系第4問

方針

まず $a_{2}, a_{3}$ を直接計算して， $a_{k} = \frac{1}{( n + k - 1 ) ( n + k )}$ を予想する。この式は $\frac{1}{n + k - 1} - \frac{1}{n + k}$ と分解できるので，部分和 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i}$ が簡単になる。最後は $(n + k - 1) (n + k)$ を両側から $n + k - 1$ ， $n + k$ で挟み，リーマン和として $lo g 2$ に収束することを示す。

解答

(1)

定義から

a_{2} = - \frac{1}{n + 2} + n a_{1} = - \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )}

である。また $a_{1} + a_{2} = \frac{1}{n ( n + 1 )} + \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{2}{n ( n + 2 )}$ であるから，

a_{3} = - \frac{1}{n + 3} + \frac{n}{2} (a_{1} + a_{2}) = - \frac{1}{n + 3} + \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{( n + 2 ) ( n + 3 )}

である。

(2)

$a_{k} = \frac{1}{( n + k - 1 ) ( n + k )}$ であることを数学的帰納法で示す。 $k = 1$ では定義そのものである。いま $i = 1, 2, \dots, k$ でこの式が成り立つとすると，

i = 1 \sum k a_{i} = i = 1 \sum k (\frac{1}{n + i - 1} - \frac{1}{n + i}) = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + k} = \frac{k}{n ( n + k )}

である。よって

a_{k + 1} = - \frac{1}{n + k + 1} + \frac{n}{k} \cdot \frac{k}{n ( n + k )} = \frac{1}{n + k} - \frac{1}{n + k + 1} = \frac{1}{( n + k ) ( n + k + 1 )}

となる。したがってすべての正の整数 $k$ について $a_{k} = \frac{1}{( n + k - 1 ) ( n + k )}$ である。

(3)

(2)より

b_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{( n + k - 1 ) ( n + k )}

である。各 $k$ について $n + k - 1 < (n + k - 1) (n + k) < n + k$ であるから，

k = 1 \sum n \frac{1}{n + k} < b_{n} < k = 1 \sum n \frac{1}{n + k - 1}

が成り立つ。左辺と右辺はそれぞれ

\frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{1 + k / n}, \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{1 + ( k - 1 ) / n}

であり，いずれも $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = lo g 2$ に収束する。したがって，はさみうちにより $lim_{n \to \infty} b_{n} = lo g 2$ である。

東京工業大学 2012年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東京工業大学 2012年度
理系数学第4問