問題
(1) 辺の長さが1である正四面体 において，辺 の中点を ，辺 の中点を とする。2つのベクトル と との内積を求めよ。
(2) 1から6までの目がそれぞれ の確率で出るさいころを同時に3個投げるとき，目の積が10の倍数になる確率を求めよ。
出典：東京工業大学 2012年度 前期日程 理系 第1問
方針
(1)は正四面体の一つの頂点を原点とみなし， の長さと相互の内積を用いて と を表す。(2)は積が10の倍数である条件を，少なくとも1個の5と少なくとも1個の偶数が出ることに言い換え，余事象で数える。
解答
(1)
，， とおく。正四面体の各辺の長さは1であるから， であり，また である。
は の中点， は の中点なので，， である。したがって ， であり，
となる。
(2)
3個のさいころの出方は 通りで，すべて同様に確からしい。目の積が10の倍数であるためには，少なくとも1個の目が5であり，かつ少なくとも1個の目が偶数であることが必要十分である。
少なくとも1個の5が出て，少なくとも1個の偶数が出る出方を余事象で数える。5が出ない出方は 通り，偶数が出ない出方は 通りである。また5も偶数も出ない出方は，目が1または3だけであるから 通りである。よって求める出方は通りである。したがって求める確率は である。