東京工業大学 2012年度
理系数学 第5問

解答

(1)

点 $(1,0)$ の像は $(a,c)$，点 $(0,1)$ の像は $(b,d)$ である。どちらの点も原点からの距離は1であるから，条件より$\sqrt{a^2+c^2}=\sqrt{b^2+d^2}$である。両辺を2乗して $a^2+c^2=b^2+d^2$ が得られる。

(2)

$\vec{u}=(a,c)$，$\vec{v}=(b,d)$ とおく。(1)より $|\vec{u}|=|\vec{v}|$ である。さらに点 $(1,1)$ を考えると，その像は $\vec{u}+\vec{v}$ であり，原点からの距離の比は $(1,0)$ のときと同じでなければならない。したがって$\frac{|\vec{u}+\vec{v}{|}^2}{2}=|\vec{u}{|}^2$である。$|\vec{u}|=|\vec{v}|$ を用いて展開すると $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ が得られる。

点 $(1,\sqrt{3})$ が $(-4,0)$ に移るので，$\vec{u}+\sqrt{3}\vec{v}=(-4,0)$である。両辺の長さを2乗すると，$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ と $|\vec{u}|=|\vec{v}|$ より$16=|\vec{u}{|}^2+3|\vec{v}{|}^2=4|\vec{v}{|}^2$である。よって $|\vec{v}{|}^2=4$ である。

また $\vec{u}+\sqrt{3}\vec{v}=(-4,0)$ の両辺と $\vec{v}$ との内積をとると，$4\sqrt{3}=-4b$ であるから $b=-\sqrt{3}$ である。したがって $b^2+d^2=4$ より $d^2=1$，すなわち $d=\pm 1$ である。成分の式 $a+\sqrt{3}b=-4$，$c+\sqrt{3}d=0$ から，$a=-1$，$c=-\sqrt{3}d$ となる。

よって候補は

の2つである。どちらの行列でも2つの列ベクトルは長さがともに2で互いに垂直であるから，任意の $(x,y)$ について像の長さは $2\sqrt{x^2+y^2}$ となる。したがって元の条件も満たし，求める行列はこの2つである。