問題
(1) として， の桁数を求めよ。
(2) 実数 に対して， を超えない最大の整数を で表す。10000以下の正の整数 で が の約数となるものは何個あるか。
出典：東京工業大学 2012年度 前期日程 理系 第2問
方針
(1)は等比数列の和を直接計算せず，最大項 と上界 で挟んで桁数だけを決める。(2)は とおき， と が の約数である条件を によって整数 の範囲へ移す。最後に による端点 を別に扱う。
解答
(1)
とおく。 は正の項の和であるから であり，また である。
ここで より である。また より である。したがって となるので， の桁数は48である。
(2)
とおく。すると は正の整数で， をみたす。また が の約数であるから， と表せる正の整数 がある。このときより， である。したがって， のとき は の3通りであり，これらはいずれも元の不等式をみたす。
一方， より である。 のときは かつ であるから， の1通りだけである。
よって求める個数は である。