問題
3次関数 のグラフを ，直線 を とする。
(1) と が原点以外の共有点をもつような実数 の範囲を求めよ。
(2) が(1)で求めた範囲内にあるとき， と によって囲まれる部分の面積を とする。 が最小となる の値を求めよ。
出典：東京工業大学 2012年度 前期日程 理系 第3問
方針
交点条件は から判別式で決める。面積は，原点以外の2交点を とし，， と置いて整理する。 の範囲で交点の並びが変わるため， と に分けて絶対値付き面積を計算し，最後に一変数関数として最小値を調べる。
解答
(1)
共有点の 座標はをみたす。これは と同値である。原点以外の共有点をもつためには，二次方程式 が実数解をもてばよい。この判別式は であるから，求める範囲は である。
(2)
とおくと， であり， である。原点以外の2つの交点の 座標はである。また，曲線と直線の差を
とおく。
まず のとき， であり， は で正， で負である。原始関数をとすると，面積は
である。したがってである。 にある臨界点は と であり，符号を調べると は で減少し， で増加する。
次に のとき， である。この場合の面積は
であり，その導関数は である。よってこの範囲では最小は端点 でしか起こらない。
以上より，全体で が最小となるのは のときである。したがって
である。