名古屋大学 1984年度理系数学第4問(b) 解答・解説

問題

さいころを $n$ 回投げ，6の目が $r$ 回出れば， $a r^{2} + b r + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ は定数で $a > 0$ ）の金額のお金が得られるものとする．得られる金額の平均値（期待値） $m$ と $\frac{a n ^{2}}{36} + \frac{bn}{6} + c$ のどちらが大きいか．

出典：名古屋大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第4問(b)

方針

6の目が出た回数 $r$ を、各回の指示変数 $X_{i}$ の和として表す。 $E (r) = n /6$ はすぐ出るが、比較に必要なのは $E (r^{2})$ であり、 $E (r^{2}) = \sum E (X_{i}) + 2 \sum E (X_{i} X_{j})$ として求める。最後に期待金額 $m = a E (r^{2}) + b E (r) + c$ と指定式との差を取る。

解答

6の目が出た回数を $r$ とする。各回について、6の目が出れば $1$ 、出なければ $0$ となる変数を $X_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ とおくと $r = X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n}$ である。各 $X_{i}$ について $E (X_{i}) = \frac{1}{6}$ だから $E (r) = \frac{n}{6}$ である。

次に $E (r^{2})$ を求める。 $X_{i}^{2} = X_{i}$ であり、 $i \neq = j$ のとき独立性より $E (X_{i} X_{j}) = \frac{1}{36}$ である。したがって

E (r^{2}) = E i = 1 \sum n X_{i}^{2} + 2 1 ≦ i < j ≦ n \sum X_{i} X_{j} = \frac{n}{6} + 2 \cdot \frac{n ( n - 1 )}{2} \cdot \frac{1}{36} = \frac{n ^{2} + 5 n}{36}

である。

得られる金額の期待値は $m = E (a r^{2} + b r + c) = a E (r^{2}) + b E (r) + c$ であるから $m = a \frac{n ^{2} + 5 n}{36} + b \frac{n}{6} + c$ である。

これと $\frac{a n ^{2}}{36} + \frac{bn}{6} + c$ との差を取ると $m - (\frac{a n ^{2}}{36} + \frac{bn}{6} + c) = \frac{5 an}{36}$ である。 $a > 0$ , $n ≧ 1$ なのでこれは正である。したがって $m$ の方が大きい。

名古屋大学 1984年度理系数学 第4問(b)

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理系数学第4問(b)