名古屋大学 1984年度理系数学第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ をそれぞれ $a_{n} = \int_{0}^{nπ} x sin x d x$ ， $b_{n} = k = 1 \sum n a_{k}$ $(n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ で定義する．

(1) $a_{n}$ を求めよ．

(2) $b_{n}$ を求めよ．

(3) $n \to \infty lim \frac{b _{2 n - 1}}{2 n - 1}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

(1) は部分積分で $a_{n}$ を求める。(2) は $a_{n} = (- 1)^{n + 1} nπ$ から、交代する整数和 $\sum (- 1)^{k + 1} k$ を奇数番目と偶数番目に分けて整理する。(3) は (2) の奇数番目の式をそのまま使う。

解答

(1)

部分積分により $\int x sin x d x = - x cos x + sin x$ である。したがって $a_{n} = \int_{0}^{nπ} x sin x d x = [- x cos x + sin x]_{0}^{nπ}$ である。ここで $sin nπ = 0, cos nπ = (- 1)^{n}$ だから $a_{n} = - nπ (- 1)^{n} = (- 1)^{n + 1} nπ$ である。

(2)

(1) より $b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} = π \sum_{k = 1}^{n} (- 1)^{k + 1} k$ である。偶数番目まででは $1 - 2 + 3 - 4 + \dots + (2 m - 1) - 2 m = - m$ だから $b_{2 m} = - mπ$ である。また奇数番目まででは、これに $2 m + 1$ を加えて $1 - 2 + \dots - 2 m + (2 m + 1) = m + 1$ となる。したがって $b_{2 m + 1} = (m + 1) π$ である。これを $2 m - 1$ の形で書けば $b_{2 m - 1} = mπ, b_{2 m} = - mπ$ である。

(3)

(2) より $b_{2 n - 1} = nπ$ である。したがって

n \to \infty lim \frac{b _{2 n - 1}}{2 n - 1} = n \to \infty lim \frac{nπ}{2 n - 1} = \frac{π}{2}

である。

名古屋大学 1984年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 1984年度
理系数学第1問