名古屋大学 1984年度理系数学第3問(a) 解答・解説

問題

方程式 $lo g x = - x^{2} + 3 x + p$ が3個の相異なる実数解をもつための $p$ の範囲を求めよ．ただし， $lo g 2 = 0.6931 \dots\dots$ ．

出典：名古屋大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第3問(a)

方針

方程式を $p = lo g x + x^{2} - 3 x$ と見て、右辺を $f (x)$ とおく。 $x > 0$ における $f^{'} (x)$ の符号から、極大値と極小値を求める。水平線 $y = p$ がグラフと3回交わるには、局所的な最大値と最小値の間に $p$ があることが必要十分である。

解答

方程式 $lo g x = - x^{2} + 3 x + p$ を $p = lo g x + x^{2} - 3 x$ と書き直す。 $x > 0$ で $f (x) = lo g x + x^{2} - 3 x$ とおく。

微分すると $f^{'} (x) = \frac{1}{x} + 2 x - 3 = \frac{2 x ^{2} - 3 x + 1}{x} = \frac{( 2 x - 1 ) ( x - 1 )}{x}$ である。 $x > 0$ だから、符号は $(2 x - 1) (x - 1)$ で決まる。したがって $f (x)$ は $0 < x < \frac{1}{2}$ で増加し、 $\frac{1}{2} < x < 1$ で減少し、 $x > 1$ で増加する。

また $lim_{x \to + 0} f (x) = - \infty, lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ である。極大値は

f (\frac{1}{2}) = lo g \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{2} = - lo g 2 - \frac{5}{4}

であり、極小値は $f (1) = 0 + 1 - 3 = - 2$ である。与えられた $lo g 2 = 0.6931 \dots$ から $- 2 < - \frac{5}{4} - lo g 2$ であることも確認できる。

したがって、水平線 $y = p$ が $f (x)$ のグラフと相異なる3点で交わるための条件は $- 2 < p < - \frac{5}{4} - lo g 2$ である。

名古屋大学 1984年度理系数学 第3問(a)

問題

方針

解答

名古屋大学 1984年度
理系数学第3問(a)