名古屋大学 1984年度理系数学第2問解答・解説

問題

空間の点 $P (a, b, 2)$ から点 $A (1, 0, 1)$ ， $B (1, 1, 1)$ を通る直線 $P A$ ， $P B$ を引き，これら2直線と $x y$ 平面との交点をそれぞれ $C$ ， $D$ とする． $O$ を原点とするとき，3角形 $O C D$ が正3角形となるための $a$ ， $b$ の値を求めよ．

出典：名古屋大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

直線 $P A$ , $P B$ を $P + t (A - P)$ , $P + t (B - P)$ と表し、 $z = 0$ となる $t$ を求める。どちらも $t = 2$ で $x y$ 平面と交わるので、 $C = 2 A - P$ , $D = 2 B - P$ と簡単に出る。あとは平面上で $C D = 2$ を確認し、正三角形条件を $O C = O D = 2$ に直して解く。

解答

直線 $P A$ 上の点を $P + t (A - P)$ と表す。 $P (a, b, 2)$ , $A (1, 0, 1)$ だから、この点の $z$ 座標は $2 + t (1 - 2) = 2 - t$ である。 $x y$ 平面上では $z = 0$ なので $t = 2$ である。したがって $C = P + 2 (A - P) = 2 A - P$ であり、 $C = (2 - a, - b, 0)$ である。

同様に、直線 $P B$ と $x y$ 平面の交点は $D = 2 B - P$ であるから $D = (2 - a, 2 - b, 0)$ である。

以下、 $x y$ 平面で考える。2点 $C, D$ は $x$ 座標が等しく、 $y$ 座標の差が $2$ なので $C D = 2$ である。三角形 $O C D$ が正三角形になるためには $O C = O D = C D = 2$ であればよい。したがって $(2 - a)^{2} + b^{2} = 4$ かつ $(2 - a)^{2} + (2 - b)^{2} = 4$ である。

2式の差をとると $b^{2} - (2 - b)^{2} = 0$ であり、 $4 b - 4 = 0$ だから $b = 1$ である。これを $(2 - a)^{2} + b^{2} = 4$ に代入して $(2 - a)^{2} + 1 = 4$ より $(2 - a)^{2} = 3$ である。したがって $a = 2 \pm 3, b = 1$ である。

名古屋大学 1984年度理系数学 第2問

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名古屋大学 1984年度
理系数学第2問