名古屋大学 1984年度
理系数学 第3問(b)

解答

(1)

3点の $x$ 座標を $u,v,w$ とする。これら3点が1直線上にあるとする。その直線を $y=\alpha x+\beta$ と書けば、交点の $x$ 座標は $x^3=\alpha x+\beta$ すなわち $x^3-\alpha x-\beta =0$ の根である。この3次方程式には $x^2$ の項がないから、3つの根の和は $u+v+w=0$ である。

逆に $u+v+w=0$ とする。このとき $(x-u)(x-v)(x-w)$ を展開すると $x^2$ の項は現れない。したがって $(x-u)(x-v)(x-w)=x^3+\lambda x+\mu$ と書ける。よって $x=u,v,w$ では $x^3=-\lambda x-\mu$ が成り立つ。これは3点 $(u,u^3)$, $(v,v^3)$, $(w,w^3)$ が直線 $y=-\lambda x-\mu$ 上にあることを意味する。したがって、3点が1直線上にあるための必要十分条件は $u+v+w=0$ である。

(2)

$A_k$ の $x$ 座標を $x_k$ とする。(1) より、仮定は $x_1+x_2+x_3=0,x_4+x_5+x_6=0,$ $x_1+x_4+x_7=0,x_2+x_5+x_8=0,x_3+x_6+x_9=0$ と表される。後の3式を加えると $(x_1+x_2+x_3)+(x_4+x_5+x_6)+(x_7+x_8+x_9)=0$ である。前の2式より $x_1+x_2+x_3=0,x_4+x_5+x_6=0$ だから $x_7+x_8+x_9=0$ となる。したがって (1) より、3点 $A_7,A_8,A_9$ も1直線上にある。