名古屋大学 1984年度理系数学第4問(a) 解答・解説

問題

行列 $A = (a c b d)$ が与えられている．ベクトル $x = (x y)$ が条件 $x^{2} + y^{2} = 1$ を満たしながら動くとき， $x$ と $A x$ との内積の最大値を求めよ．

出典：名古屋大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第4問(a)

方針

単位円上の点を $x = cos θ$ , $y = sin θ$ と置く。内積 $x \cdot A x$ は $a x^{2} + (b + c) x y + d y^{2}$ であり、三角関数の倍角公式で $cos 2 θ, sin 2 θ$ の一次式に直せる。最後は $R cos (2 θ - ϕ)$ 型の最大値として読む。

解答

条件 $x^{2} + y^{2} = 1$ より $x = cos θ, y = sin θ$ とおく。

A x = (a c b d) (x y) = (a x + b y c x + d y)

であるから、内積は

x \cdot A x = x (a x + b y) + y (c x + d y) = a x^{2} + (b + c) x y + d y^{2}

である。

倍角公式

x^{2} = \frac{1 + cos 2 θ}{2}, y^{2} = \frac{1 - cos 2 θ}{2}, x y = \frac{sin 2 θ}{2}

を用いると

x \cdot A x = \frac{a + d}{2} + \frac{a - d}{2} cos 2 θ + \frac{b + c}{2} sin 2 θ

となる。

ここで $\frac{a - d}{2} cos 2 θ + \frac{b + c}{2} sin 2 θ$ の最大値は $\frac{1}{2} (a - d)^{2} + (b + c)^{2}$ である。したがって求める最大値は $\frac{a + d}{2} + \frac{1}{2} (a - d)^{2} + (b + c)^{2}$ である。

名古屋大学 1984年度理系数学 第4問(a)

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理系数学第4問(a)