問題
1辺の長さが1cmの正3角形がある．動点，，が，それぞれ，，を同時に出発して毎秒1cm，2cm，3cmの速さで，この3角形の周上をの向きにまわっている．出発してから秒後の，，を頂点とする3角形の面積を とする．
(1) を示せ．
(2) の範囲で，を最小にするを求めよ．
(3) の範囲で，となるを求めよ．
出典：名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(b)
方針
周期は周の長さ3から直ちに分かる。 では3点がそれぞれ固定された辺上にあるため、座標から を得て二次式を最小化する。面積ゼロは、辺が切り替わる時刻で区間を分け、符号付き面積の式を表で調べる。
解答
(1)
正三角形の周の長さは である。3秒後に が進む距離はそれぞれ であり、いずれも周の長さの整数倍である。よって である。
(2)
座標を とおく。 では、各点のいる辺が固定されるため、座標を直接代入できる。この範囲で計算すると である。
二次式 は で最小になる。この値は に含まれるので である。
(3)
座標を とする。周上の位置を、 から に沿って測った道のりで表し、長さ を法として考える。
時刻 における道のりは をそれぞれ で割った余りで表される。3点の符号付き面積の2倍を とすると、 で区間を分けて次のようになる。
実際には、各区間で がそれぞれどの辺上にあるかが固定されるので、座標を代入して行列式
を計算すればよい。面積は である。
この表から、 となるのは および である。よって である。