名古屋大学 1983年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a$ は正の数， $p$ ， $q$ はともに正の整数とし， $a_{1} = 1$ ， $a_{n}^{p} a_{n - 1}^{q} = a$ $(n ≧ 2)$ を満たす正数列を ${a_{n}}$ とする．

(1) $a_{n}$ を $a$ ， $p$ ， $q$ ， $n$ で表せ．

(2) $p > q$ のとき， $n \to \infty lim a_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

正数列なので対数を取る。 $v_{n} = lo g a_{n}$ 、 $L = lo g a$ とおくと、条件は $p v_{n} + q v_{n - 1} = L$ という一次漸化式になる。一定解 $L / (p + q)$ との差を取ると公比 $- q / p$ の等比数列になるので、最後に指数へ戻す。理系ではさらに $p > q$ が与えられているので、 $∣ - q / p ∣ < 1$ から等比部分が $0$ に近づくことを使って極限を取る。

解答

(1)

$v_{n} = lo g a_{n}$ 、 $L = lo g a$ とおく。 $a_{n} > 0, a > 0$ なので対数を取ることができる。条件 $a_{n}^{p} a_{n - 1}^{q} = a$ は $p v_{n} + q v_{n - 1} = L$ となる。また $a_{1} = 1$ より $v_{1} = 0$ である。

一定解を $v$ とすると $(p + q) v = L$ だから $v = \frac{L}{p + q}$ である。そこで差を取ると $v_{n} - \frac{L}{p + q} = - \frac{q}{p} (v_{n - 1} - \frac{L}{p + q})$ を得る。

よって

v_{n} - \frac{L}{p + q} = (- \frac{q}{p})^{n - 1} (v_{1} - \frac{L}{p + q})

である。 $v_{1} = 0$ なので $v_{n} = \frac{L}{p + q} {1 - (- \frac{q}{p})^{n - 1}}$ となる。

したがって

a_{n} = a^{\frac{1}{p + q} {1 - (- \frac{q}{p})^{n - 1}}}

である。

(2)

$p > q$ のとき $- \frac{q}{p} < 1$ である。したがって $(- \frac{q}{p})^{n - 1} \to 0$ となる。よって (1) の式から $lim_{n \to \infty} a_{n} = a^{1/ (p + q)}$ である。

名古屋大学 1983年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 1983年度
理系数学第1問