名古屋大学 1983年度理系数学第4問(a) 解答・解説

問題

箱 $A$ には1個，箱 $B$ には2個の球が入っている．硬貨を投げて表が出たら $A$ から $B$ へ，裏が出たら $B$ から $A$ へ球を1個うつす．ただし，どちらか一方が空になったらこの操作をやめるものとする．

(1) ちょうど $n$ 回目に箱 $A$ が空になる確率 $p_{n}$ を求めよ．

(2) $N$ 回以下の操作では $A$ が空にならない（ $B$ は空になってもよい）確率 $q_{N}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系第4問(a)

箱 $A$ の球数だけを状態にする。初期状態は1で、表なら1減り、裏なら1増える。 $A$ が空になるには最後に状態1から表が出る必要があり、それ以前に空にも満杯にもならないための道筋は $1, 2, 1, 2, \dots, 1, 0$ と一意に決まる。したがって奇数回だけが可能になる。

箱 $A$ の球数を状態として考える。最初は $1$ であり、表が出ると $A$ から $B$ へ球を移すので状態は1減る。裏が出ると $B$ から $A$ へ球を移すので状態は1増える。

箱 $A$ がちょうど $n$ 回目に空になるには、最後の直前の状態が $1$ で、最後に表が出る必要がある。また、それ以前に $A$ が空になってはいけない。

途中で停止せずに状態 $1$ と $2$ の間を動くには、状態 $1$ では裏、状態 $2$ では表を出すしかない。したがって、 $A$ が空になる道筋は $1 \to 2 \to 1 \to 2 \to \dots \to 1 \to 0$ に限られる。

よって $n$ は奇数でなければならない。 $n = 2 k + 1$ のとき、その道筋の確率は $(\frac{1}{2})^{2 k + 1}$ である。したがって

p_{2 k + 1} = (\frac{1}{2})^{2 k + 1} (k = 0, 1, 2, \dots), p_{2 k} = 0

である。

$N$ 回以下で $A$ が空になる確率を、(1) の $p_{n}$ の和で求める。 $N = 2 m$ のとき

1 ≦ n ≦ 2 m n odd \sum p_{n} = k = 0 \sum m - 1 (\frac{1}{2})^{2 k + 1} = \frac{2}{3} (1 - \frac{1}{4 ^{m}})

である。したがって

q_{2 m} = 1 - \frac{2}{3} (1 - \frac{1}{4 ^{m}}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot 4 ^{m}}

である。 $N = 2 m + 1$ のときは

1 ≦ n ≦ 2 m + 1 n odd \sum p_{n} = k = 0 \sum m (\frac{1}{2})^{2 k + 1} = \frac{2}{3} (1 - \frac{1}{4 ^{m + 1}})

なので $q_{2 m + 1} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3 \cdot 4 ^{m + 1}}$ である。