名古屋大学 1983年度理系数学第3問(a) 解答・解説

問題

曲線 $y = x^{2}$ $(x ≧ 0)$ の上にあって，定点 $A (0, a)$ に最も近い点 $P$ を求めよ．また $a = \frac{3}{4}$ のとき，点 $A$ を中心とする半径 $A P$ の円と，この曲線および $y$ 軸とによって囲まれる部分の面積を求めよ．

出典：名古屋大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系第3問(a)

方針

一般の $a$ について $P = (x, x^{2})$ と置き、距離の2乗 $x^{2} + (x^{2} - a)^{2}$ を最小化する。 $a ≦ 1/2$ では端点、 $a > 1/2$ では内部点が最近点になる。後半の $a = 3/4$ では円の下側の弧と放物線の差を積分し、扇形分を含む積分を計算する。

解答

点 $P$ を $P = (x, x^{2}) (x ≧ 0)$ とおく。点 $A (0, a)$ との距離の2乗は $D (x) = x^{2} + (x^{2} - a)^{2}$ である。微分すると $D^{'} (x) = 2 x (1 + 2 x^{2} - 2 a)$ である。 $a ≦ 1/2$ では、 $x ≧ 0$ に対して $1 + 2 x^{2} - 2 a ≧ 0$ なので、 $D (x)$ は $x = 0$ で最小となる。したがって $P = (0, 0)$ である。 $a > 1/2$ では $1 + 2 x^{2} - 2 a = 0$ から $x = a - \frac{1}{2}$ を得る。この点で減少から増加へ変わるので $P = (a - \frac{1}{2}, a - \frac{1}{2})$ である。

次に $a = 3/4$ とする。このとき $P = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}), A P = \frac{1}{2}$ である。円の方程式は $x^{2} + (y - \frac{3}{4})^{2} = \frac{1}{2}$ であり、囲まれる部分では下側の円弧 $y = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - x^{2}$ を用いる。

したがって面積は $\int_{0}^{1/2} (\frac{3}{4} - \frac{1}{2} - x^{2} - x^{2}) d x$ である。ここで $\int_{0}^{1/2} \frac{1}{2} - x^{2} d x = \frac{1}{8} + \frac{π}{16}$ だから、面積は

\frac{1}{3} - (\frac{1}{8} + \frac{π}{16}) = \frac{5}{24} - \frac{π}{16}

である。

名古屋大学 1983年度理系数学 第3問(a)

問題

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解答

名古屋大学 1983年度
理系数学第3問(a)