名古屋大学 1983年度理系数学第2問解答・解説

問題

$x y$ 平面上で，原点を1つの頂点とし $y ≧ 0$ の部分にある正方形のうち，1次変換

(x^{'} y^{'}) = (3 a + b 3 (a - b) 3 (a - b) a + 3 b) (x y)

によって長方形にうつされるものを求めよ．ただし， $ab \neq = 0$ とする．

出典：名古屋大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

固定された2方向 $(3, 1)$ 、 $(- 1, 3)$ を基準にすると、この行列はそれぞれを $4 a$ 倍、 $4 b$ 倍する。正方形の辺方向をこの基準から角 $ϕ$ だけ回したものとして表し、変換後の内積を計算する。 $a^{2} = b^{2}$ なら全方向が可能で、そうでなければ基準の2方向だけが可能になる。

解答

行列を

M = (3 a + b 3 (a - b) 3 (a - b) a + 3 b)

とする。2つの互いに垂直な単位ベクトル

e_{1} = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2}), e_{2} = (- \frac{1}{2}, \frac{3}{2})

を考える。

直接計算すると $M e_{1} = 4 a e_{1}, M e_{2} = 4 b e_{2}$ である。

正方形の隣り合う辺の方向を $u = cos ϕ e_{1} + sin ϕ e_{2},$ $v = - sin ϕ e_{1} + cos ϕ e_{2}$ と表す。このとき $u, v$ は互いに垂直である。

変換後の内積は $(M u) \cdot (M v) = 16 (b^{2} - a^{2}) sin ϕ cos ϕ$ である。したがって、変換後が長方形になる条件は $(b^{2} - a^{2}) sin ϕ cos ϕ = 0$ である。

もし $a^{2} = b^{2}$ すなわち $a = b または a = - b$ なら、どの $ϕ$ でもこの条件を満たす。したがって、この場合は原点を頂点とし $y ≧ 0$ の部分にあるすべての正方形が条件を満たす。

一方、 $a^{2} \neq = b^{2}$ なら $sin ϕ cos ϕ = 0$ なので、辺の方向は $e_{1}, e_{2}$ の方向に限られる。すなわち、隣り合う2辺が $y = \frac{1}{3} x, y = - 3 x$ に平行な正方形である。

以上より、答は次の通りである。 $a = b または a = - b のときは、条件を満たすすべての正方形$ であり、 $a^{2} \neq = b^{2} のときは、上の 2 直線に平行な辺をもつ正方形$ である。

名古屋大学 1983年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

名古屋大学 1983年度
理系数学第2問