問題
曲線と直線との交わりが，どんなに対してもただ1点であるようなの範囲を求めよ．
出典：名古屋大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問(b)
方針
を と見る。任意の に対して解がただ1つであるためには、 が実数全体を値域にもつ単調関数であればよい。 の符号から、 または では単調性があり、 では極大・極小により一意性が崩れる。
解答
交点の方程式は である。これを と見る。 のとき である。したがって は単調に減少する。また であるから、任意の実数 に対して はただ1つの解をもつ。 のときは である。したがって は単調に増加し、さらに なので、この場合も任意の に対して解はただ1つである。
一方、 のときは を満たす が存在するため、 の符号が変わる。したがって は極大値と極小値をもち、その間の値を に取れば、方程式 は少なくとも2つの解をもつ。
よって求める範囲は である。