九州大学 1987年度
理系数学 第6問

解答

(1)

点 $P(x_0,y_0)$ を通る傾き $m$ の直線を $y-y_0=m(x-x_0)$ とおく。すなわち $y=mx+y_0-m{x}_0$ である。これを双曲線 $y^2-x^2=1$ に代入すると $(mx+y_0-m{x}_0{)}^2-x^2=1$ である。これは $x$ についての2次方程式であり、直線が接線であるためには重解をもつ必要がある。

判別式を0とする代わりに、整理された接線条件を書き出すと $(y_0-m{x}_0{)}^2+m^2-1=0$ である。これを $m$ について整理して $(x_0^2+1)m^2-2x_0{y}_{0}m+y_0^2-1=0$ を得る。

2本の接線の傾きを $m_1,m_2$ とすると、この2次方程式の2解である。したがって解と係数の関係より $m_1+m_2=\frac{2x_0{y}_0}{x_0^2+1}$ であり、$m_1{m}_2=\frac{y_0^2-1}{x_0^2+1}$ である。

(2)

傾きの積が $k$ であるから、$(1)$ より $\frac{y^2-1}{x^2+1}=k$ である。したがって $y^2-1=k(x^2+1)$ であり、$y^2-k{x}^2=1+k$ が候補となる。

ただし、問題では点 $P$ を通る接線が2本あるとされている。したがって $(1)$ で得た $m$ の2次方程式が異なる2つの実数解をもつ必要がある。その判別式は正でなければならないので $(2xy{)}^2-4(x^2+1)(y^2-1)>0$ である。整理すると $x^2-y^2+1>0$ となる。

候補の曲線上では $y^2=k{x}^2+1+k$ であるから、上の条件は $x^2-(k{x}^2+1+k)+1>0$ すなわち $(1-k)x^2-k>0$ である。 $-1<k<0$ のときは、$1-k>0$ かつ $-k>0$ であるから $(1-k)x^2-k>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。したがってこの場合の軌跡は $y^2-k{x}^2=1+k$ の実際に点が存在する部分全体である。 $0<k<1$ のときは $(1-k)x^2>k$ すなわち $x^2>\frac{k}{1-k}$ が必要である。したがってこの場合の軌跡は $y^2-k{x}^2=1+k,x^2>\frac{k}{1-k}$ を満たす部分である。