九州大学 1987年度理系数学第1問解答・解説

問題

曲線 $C : x^{2} + x y + y^{2} = k^{2}$ $(k > 0)$ と，行列 $A = (01 - 1 1)$ によって定義される1次変換 $f$ について，次の問に答えよ．

(1) $C$ 上の任意の点 $P (x, y)$ に対して， $Q = f (P)$ も $C$ 上の点であることを示せ．

(2) $C$ を適当な角 $θ$ だけ回転することにより，だ円であることを示せ．

(3) $C$ の内部のうち，第1象限の部分の面積を求めよ．

出典：九州大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

$(1)$ は変換後の座標を直接代入し、式 $x^{2} + x y + y^{2}$ が変わらないことを示す。 $(2)$ は $u = (x + y) / 2$ 、 $v = (x - y) / 2$ という45度回転で平方項を整理し、標準形のだ円に直す。 $(3)$ は第1象限内で $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ とおいて半径の上限を求め、面積を $\frac{1}{2} \int r^{2} d θ$ で計算する。別解として、全体のだ円の面積と $(1)$ の面積保存を使う見方も確認できる。

解答

(1)

点 $P (x, y)$ が変換 $f$ によって点 $Q (X, Y)$ に移るとする。行列から $X = - y, Y = x + y$ である。したがって $X^{2} + X Y + Y^{2} = (- y)^{2} + (- y) (x + y) + (x + y)^{2}$ である。右辺を展開すると $y^{2} - x y - y^{2} + x^{2} + 2 x y + y^{2} = x^{2} + x y + y^{2}$ となる。よって $P$ が曲線 $C$ 上にあるなら $x^{2} + x y + y^{2} = k^{2}$ であり、同時に $X^{2} + X Y + Y^{2} = k^{2}$ も成り立つ。したがって $Q$ も $C$ 上の点である。

(2)

$u = \frac{x + y}{2}, v = \frac{x - y}{2}$ とおく。これは座標軸を45度回転する変換である。このとき $x^{2} + y^{2} = u^{2} + v^{2}, x y = \frac{u ^{2} - v ^{2}}{2}$ であるから $x^{2} + x y + y^{2} = u^{2} + v^{2} + \frac{u ^{2} - v ^{2}}{2} = \frac{3}{2} u^{2} + \frac{1}{2} v^{2}$ となる。したがって曲線 $C$ は $\frac{3}{2} u^{2} + \frac{1}{2} v^{2} = k^{2}$ すなわち $\frac{u ^{2}}{\frac{2 k ^{2}}{3}} + \frac{v ^{2}}{2 k ^{2}} = 1$ と書ける。これはだ円の標準形である。よって $C$ はだ円である。

(3)

第1象限では

x = r cos θ, y = r sin θ, 0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}

とおける。すると

x^{2} + x y + y^{2} = r^{2} (cos^{2} θ + sin θ cos θ + sin^{2} θ) = r^{2} (1 + \frac{1}{2} sin 2 θ)

である。したがって境界上では $r^{2} = \frac{k ^{2}}{1 + \frac{1}{2} s i n 2 θ}$ である。

よって第1象限内の面積 $S$ は $S = \frac{1}{2} \int_{0}^{π /2} \frac{k ^{2}}{1 + \frac{1}{2} s i n 2 θ} d θ$ である。ここで $t = tan θ$ とおくと $sin 2 θ = \frac{2 t}{1 + t ^{2}}, d θ = \frac{d t}{1 + t ^{2}}$ であり、 $θ$ が $0$ から $π /2$ まで動くとき、 $t$ は $0$ から $\infty$ まで動く。したがって

\int_{0}^{π /2} \frac{d θ}{1 + \frac{1}{2} sin 2 θ} = \int_{0}^{\infty} \frac{d t}{t ^{2} + t + 1}

である。分母を平方完成すると $t^{2} + t + 1 = (t + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}$ だから

\int_{0}^{\infty} \frac{d t}{t ^{2} + t + 1} = \frac{2}{3} [arctan \frac{2 t + 1}{3}]_{0}^{\infty} = \frac{2 π}{3 3}

である。よって

S = \frac{k ^{2}}{2} \cdot \frac{2 π}{3 3} = \frac{π k ^{2}}{3 3}

である。

別解。 $(2)$ の標準形から、だ円全体の面積は $π \cdot \frac{2 k ^{2}}{3} \cdot 2 k^{2} = \frac{2 π k ^{2}}{3}$ である。 $(1)$ の1次変換は面積を保ち、正の $x$ 軸上の点を正の $y$ 軸上へ移す。この変換を繰り返すと、だ円の内部は同じ面積の6つの部分に分かれ、第1象限部分はその1つである。したがって面積は $\frac{1}{6} \cdot \frac{2 π k ^{2}}{3} = \frac{π k ^{2}}{3 3}$ となる。

九州大学 1987年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1987年度
理系数学第1問