九州大学 1987年度理系数学第4問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．

(1) $I_{n} = \int_{0}^{π} sin^{n} θ d θ$ とおく． $n ≧ 3$ のとき， $I_{n}$ を $I_{n - 2}$ で表せ．

(2) $J_{n} = \int_{0}^{1} x^{n} (1 - x^{2})^{\frac{n - 1}{2}} d x$ $(n ≧ 2)$ とおくとき， $J_{n}$ を $I_{n}$ で表せ．

(3) $J_{6}$ を求めよ．

出典：九州大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$I_{n}$ は $sin^{n - 1} θ sin θ$ と見て部分積分し、 $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ で $I_{n}$ と $I_{n - 2}$ の関係に戻す。 $J_{n}$ は $x = cos θ$ と置くと $cos^{n} θ sin^{n} θ$ になり、 $sin 2 θ$ にまとめて $I_{n}$ に変換できる。最後は漸化式で $I_{6}$ を $I_{0} = π$ まで下げる。

解答

(1)

I_{n} = \int_{0}^{π} sin^{n} θ d θ = \int_{0}^{π} sin^{n - 1} θ sin θ d θ

と見る。ここで部分積分を用い、 $sin θ d θ = - d (cos θ)$ と考えると

I_{n} = [- sin^{n - 1} θ cos θ]_{0}^{π} + (n - 1) \int_{0}^{π} sin^{n - 2} θ cos^{2} θ d θ

である。端では $sin θ = 0$ なので境界項は0である。したがって $I_{n} = (n - 1) \int_{0}^{π} sin^{n - 2} θ (1 - sin^{2} θ) d θ$ となる。つまり $I_{n} = (n - 1) (I_{n - 2} - I_{n})$ である。よって $n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}$ となり、 $I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2} (n ≧ 3)$ である。

(2)

$x = cos θ$ とおく。 $x$ が0から1まで動くとき、 $θ$ は $π /2$ から0まで動く。また $d x = - sin θ d θ, 1 - x^{2} = sin^{2} θ$ である。したがって $J_{n} = \int_{0}^{π /2} cos^{n} θ sin^{n} θ d θ$ となる。ここで $sin 2 θ = 2 sin θ cos θ$ だから $J_{n} = \frac{1}{2 ^{n}} \int_{0}^{π /2} sin^{n} 2 θ d θ$ である。さらに $u = 2 θ$ とおくと $d u = 2 d θ$ であり、 $u$ は0から $π$ まで動く。よって

J_{n} = \frac{1}{2 ^{n + 1}} \int_{0}^{π} sin^{n} u d u = \frac{I _{n}}{2 ^{n + 1}}

である。

(3)

$(1)$ を用いて

I_{6} = \frac{5}{6} I_{4} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} I_{2} = \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} I_{0}

である。ここで $I_{0} = \int_{0}^{π} 1 d θ = π$ だから $I_{6} = \frac{5 π}{16}$ である。 $(2)$ より

J_{6} = \frac{I _{6}}{2 ^{7}} = \frac{1}{128} \cdot \frac{5 π}{16} = \frac{5 π}{2048}

である。

九州大学 1987年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

九州大学 1987年度
理系数学第4問